La lemniscate

L'équation en coordonnées polaires de la lemniscate est : avec , a est un paramètre.

La différentielle de l'arc est donnée, d'une façon générale par : .

On obtient donc avec la l'équation de la lemniscate . Il est intéressant de faire dans le second membre le changement de variable q en r. Il suffit, pour cela, d'utiliser encore l'équation de la lemniscate, qui différentiée donne : .

On obtient après quelques calculs : . On retrouve ici la différentielle de l'équation de l'isochrone paracentrique et la différentielle de l'arc de la courbe élastique.

 

 

Egalité de C. G. Fagnano

 

Sous le changement de variable , Fagnano donne l'égalité :

.

On reconnait dans le premier membre la longueur de l'arc de la lemniscate de paramètre a = 1.

La première intégrale du second membre est la longueur de l'arc de l'ellipse d'équation : . La seconde intégrale du second membre correspond à la longueur d'un arc de l'hyperbole équilatère d'équation , ce qui ne se voit pas vraiment ! En effet, si on applique à cette intégrale le changement de variable on obtient :

Un deuxième changement de variable , fera reconnaître l'intégrale exprimant la longueur de l'arc de l'hyperbole donnée au-dessus :

.

Il ne reste plus qu'à prouver l'égalité donnée par C. J. Fagnano :

On trouve avec la linéarité de l'intégrale que :

On transforme alors la dernière intégrale du second membre au moyen de la relation

obtenue à partir du changement de variable de C. J. Fagnano. Cette égalité ne se montre pas très facilement, je l'obtiens en vérifiant que les deux membres redonnent bien le même résultat après avoir exprimé z en fonction de t, les calculs sont un peu fastidieux mais, il y a peut-être plus simple !

 

Créé le 01/09/07 et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07