NOMBRES CONSTRUCTIBLES

ET

NOMBRES ALGEBRIQUES

Héritiers de la tradition géométrique Grecque, les mathématiciens des 17e et 18e siècles disent d'un nombre (il parlent souvent de grandeur ou de quantités) qu'il est constructible ou géométrique si, après avoir choisi une longueur unité, un segment, dont la mesure est précisément ce nombre, peut être construite avec les ressources de la géométrie Euclidienne. Rappelons que cette géométrie qu'on étudie à l'école élémentaire n'accepte comme objets géométriques que les droites et les cercles. On résume cela en disant qu'une quantité est géométrique si elle est constructible avec la règle et le compas .

Il est connu depuis Euclide et rappelé par Descartes dans sa Géométrie, qu'une somme, une différence, un produit, un quotient et une racine carré de quantités géométriques sont géométriques :

Voici comment construire un nombre rationnel et la racine d'un tel nombre...

Comment construire la fraction . a et b étant deux entiers.

Construire deux demi droites [Ox) et [Oy) sur chacune desquelles on aura défini une longueur unité. Placer les points A et B respectivement sur chacune des droites telles que a = OA et b = OB. Tracer la droite (AB), avec la règle et le compas il est (en principe) facile de tracer la droite passant par le 1 de [Ox) et parallèle à (AB). Cette dernière droite coupe [Oy) en C avec OC = .

On montre cette dernière égalité avec le théorème de Thalès. Ainsi tout nombre rationnel peut être construit.

Comment construire , avec a un rationnel.

Tracer une droite sur laquelle on place un point A. On détermine une longueur unité AH, puis on place le point B (voir figure) tel que HB = a.

Avec règle et compas on détermine le milieu O du segment [AB], puis on trace le demi cercle de centre O et de diamètre AB. Elever la droite qui passe par H et perpendiculaire à (AB). Cette droite coupe le demi-cercle précédent en D : On a HD = .

On montre cette dernière égalité avec le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ADB.

 

Il est donc clair que toute solution d'équations du second degré tombaient dans ce cas.

Mais qu'en est-il des autres quantités, tels les racines cubique, les solutions d'équations de degrés supérieurs à deux, Pi, et toutes les autres quantité qui virent le jour au 17e et 18e siècle avec le développement des mathématiques et en particulier des calculs différentiels et intégrals ?

Dans sa Géométrie Descartes donna droit de citer aux expressions algébrique et courbes associées. Tout nombre solution d'un problème comme le comprenait Descartes était donc un nombre algébrique, au sens moderne du terme: la plupart des nombres connus à l'époque rentrent alors dans l'univers géométrico-algébrique de Descartes. Il reste bien sur (à l'époque de la Géométrie) quelques zones d'ombres, quelques nombres (Pi) qu'on a du mal à ranger dans cet ordonnancement mais on ne doute pas qu'avec les progrès de l'analyse on arrivera à les y classer.

Mais quels relations y a-il entre ces nombres algébriques et les nombres constructibles ?

A ce niveau la situation est confuse et le restera jusqu'au début du 19e siècle.

* On sait montrer qu'un nombre est algébrique, et la question reste clair même si on ne parvient pas au résultat. Par contre, on ne sait pas montrer qu'un nombre n'est pas algébrique (il faudra attendre le 19e siècle et la théorie des nombres transcendants), d'ailleurs, il n'est pas certain que la question ait un sens pour la majorité des mathématiciens de l'époque.

* Dans le même contexte, on sait montrer qu'un nombre est constructible, mais on ne sait pas montrer qu'il ne l'est pas et, là encore, il faudra attendre le 19e siècle pour avoir un caractérisation des nombres constructibles.

* On ne connait pas de relations claires entre les deux ensembles de nombres.

* Le sission entre courbes (expressions) algébriques et transcendantes fait soupçonner aux mathématiciens que des expressions transcendantes doivent produires des nombres non constructibles mais aucune démonstration n'existe et tout cela relève de la conjecture : d'autant plus qu'ils adoptent comme pétition de principe que les mathématiques n'ont pas suffisamment progressé pour leur permettre de comprendre tous ces mystères.

 

La question sera définitivement règlée au 19e siècle avec la théorie de Galois et le critère suivant :

 
Un ensemble de nombres F étant donné. Un nombre est constructible à la règle et au compas à partir de F s'il est solution d'une équation à coefficients dans F dont la résolution se ramène à une suite de d'équations du premier et du second degré à coefficients dans F.
 

Ainsi tout nombre constructible sur F est algébrique sur F.

Par exemple, une équation bicarrée à coefficient entier a toujours pour racine des quantités constructibles.

Par contre une racine cubique irrationnelle n'est pas constructible avec la règle et le compas.

Le critère précédent [Js, p. 216] est essentiellement algébrique et ne fait pas référence à la géométrie. Cependant on peut le comprendre si on imagine le plan géométrique muni d'un repère orthonormal, car on sait, dans ce cas, que des intersection de cercles et de droites conduisent (on l'admet volontier sans trop de difficultés) à des équations du premier et du second degré.

Créé le 01/09/07 et et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07