RECTIFICATION DE LA PARABOLE

par

Christiaan HUYGENS (1629-1695)

 

Huyghens dans son ouvrage l'Horloge oscillante [Hu] recherche la courbe idéale que doit parcourir le peson d'un pendule pour avoir un mouvement régulier.

C'est à l'occasion de ce problème qu'il invente et développe le calcul des développés.

C'est dans le même ouvrage qu'il donne un résultat qu'il a obtenu. Il s'agit de la détermination de la longueur de l'arc de la parabole, autrement dit la rectification de cette courbe.

Voici la partie du texte énonçant ce résultat. Elle fait référence à la figure ci-dessus donnée également par Huyghens.

Trouver une ligne droite égale à la courbe parabolique.

Soit un arc de parabole ABC dont l'axe BK est perpendiculaire à la base AC; il faut trouver une droite égale à la courbe ABC.

On prend une droite IE, égale à la moitié AK de la base AC, que l'on prolonge jusqu'en H, de telle façon que IH soit égale à AG qui est tangent à la parabole au point A de la base et rencontre en G l'axe prolongé. Soit maintenant un arc d'hyperbole DEF, de sommet E et de centre I dont le diamètre soit EH et la base DHF appliquée perpendiculairement au diamètre. L'autre diamètre peut être quelconque.

Si maintenant on considère au dessus de la base DF la parallélogramme déterminé DPQF égale à l'aire hyperbolique DEF, son côté PQ coupera ainsi la diamètre de l'hyperbole en R de telle façon que RI soit égale à la longueur de l'arc de parabole AB, dont le double est AC.

Ainsi, il apparait que la mesure de la courbe parabolique dépend de la quadrature de l'hyperbole.

Remarques:

Ce qu'il appelle droite est un segment dont il considère la longueur. C'est le pur langage classique de la géométrie grecque.

Le mot base est différent de son sens moderne, c'est ici une segment perpendiculaire à l'axe de la conique.

L'autre diamètre fait référence à ce qu'on appelle aujourd'hui le petit axe de la conique. Mot à mot le texte latin donne latus rectum, «gui côté droit».

Le résultat est donné intégralement sous forme géométrique, aucune formule n'apparait. Il ne fait référence qu'à des courbes algébriques parabole et hyperbole. Huygens reste conforme à l'esprit géométrique grec de ne rien énoncer qui ne soit géométriquement bien défini et suit ainsi les recommandation de Descartes quant à l'utilisation de courbes ou quantités non algébrique; or pourtant c'est bien une quantité non algébrique qui apparait ici puisqu'on obtient un logarithme...

 

Façon moderne :

Pour calculer la longueur de l'arc de parabole OA, il nous suffit de calculer une intégrale.

L'élément différentiel de l'arc étant: ds = . La longueur de l'arc OA est donnée par:.

En utilisant un changement de variable hyperbolique x = 2 sh(u), on trouve:

Ce résultat dépend du logarithme puisque Argsh se définit à partir d'un logarithme :

 

 

Créé le 01/09/07 et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07