QUELQUES CELEBRES IRREDUCTIBLES

 

Premiers contacts

Après qu'Archimède ait ramené la longueur de l'arc de cercle à la quadrature de la même figure et que Huygens ait montré que la rectification de l'arc de parabole se ramenait à la quadrature de l'hyperbole, autrement dit à un logarithme, il était normal de tenter de rectifier les arcs des deux autres coniques : éllipse et hyperbole.

Dés 1655 J. Wallis s'était frotté à l'ellipse et dans une lettre à Huygens, édité en 1659 et intitulée les courbes, il essaie de trouver le rapport de la circonférence du cercle au périmètre de l'ellipse à partir, précisément, d'un cercle et d'une ellipse inclus dans un cylindre.

Cette construction le conduit à rectifier la courbe qu'il appelle compagne de la roulette et connue aujourd'hui sous le nom de sinusoide. Il en déduit que ce rapport n'est pas clair...

Aprés les découvertes des calculs différentiel et intégral, les problèmes de rectification se posent simplement en terme d'intégrales. Voici ceux concernant l'ellipse et l'hyperbole.

Ellipse , excentricité e<1
Hyperbole , excentricité e>1

La longueur de l'arc AM est donnée dans chaque cas par :

En fait, les mathématiciens du 17ème siècle ne s'attardèrent pas sur ces intégrales réfractaires que les aléas de la recherche géométrique pouvaient leur fournir. Jacques Bernoulli, face à l'équation différentielle de la courbe élastique avoua qu'il ne pouvait la traiter autrement que par la méthode des séries proposée par Leibniz. Newton, dans la méthode des Fluxions, ne procéda pas vraiment différemment, puisque pour calculer la longueur d'un arc d'ellipse, il transforme le problème en déterminant une courbe dont l'aire est précisément la longueur de l'arc d'ellipse cherché. Newton renvoie ensuite au traitement de cette quadrature par des séries. En termes moderne cela revient à déterminer l'aire sous la courbe d'équation . Ce qui ne fait pas beaucoup avancer la question.

 

En 1687 Newton(1642 - 1727) publie un livre qui eut un retentissement universel : Les Principes mathématiques de la philosophiques naturelle. Dans ce vaste ouvrage de physique en trois livres Newton dévoile les lois et principes de la mécanique rationnelle qu'il applique ensuite à la mécanique céleste : c'est dans les Principes qu'il traite de la gravitation universelle et publie les principes qui le rendront célébre.

En possession des lois fondamentales de la dynamique les mathématiciens de la fin de 17e siècle se confrontent à de multiples problèmes de mécaniques qu'ils analysent et tentent de résoudre avec ces outils nouvellement découverts que sont les calculs différentiel et intégral. Certains ont plus l'apparence de casse-têtes ou jeux géométriques gratuits que de réels problèmes concrets dont la solution aurait été attendu par la société de l'époque. Tels furent ceux-ci :

 

La courbe élastique

C'est Jacques Bernoulli qui en 1691 proposa le problème suivant:

On suppose une lame élastique attachée perpendiculairement à un plan par une de ses extrémités, et plié comme l'on voit sur la figure ci-contre, par un poids attaché à l'autre. On demande quelle forme prend ce ressort.

Bernoulli, nous dit Montucla, annonça qu'il en avait la solution et, afin qu'on n'imagine pas son problème impossible, consigna sous une forme cryptée par des transpositions de lettres (ce qui était une façon à l'époque d'éviter les querelles de priorités) une des principales propriétés de la courbe cherchée. Aprés que trois ans se furent écoulès sans que personne ne répondit à son invitation, il finit par en donner la solution en 1694.

Bernoulli trouva pour équation de la courbe une équation différentielle qu'il ne put résoudre exactement par aucune moyen sinon par un développement en série:

 

La courbe élastique selon Montucla

L'équation de la courbe est donné par une intégrale ou une quadrature:, inexprimable à partir des fonctions élémentaires habituelles : la seule façon d'en avoir une idée étant d'en faire un développement en série. Ce que fit Bernoulli qui donne dans son Traité des séries infinies :

Bien que les mathématiciens de l'époque ne le sache pas encore et pour des raison qui apparaitront plus tard cette expression représente une intégrale elliptique.

La rectification de la même courbe donne une résultat assez surprenant, puisque la différentielle de l'arc ou élément d'abscisse curviligne est qui fournit pour la longueur de l'arc de l'élastique:

Cette forme pourrait laisser croire qu'il est possible d'exprimer l'arc de l'élastique facilement en fonction de l'ordonnée de la courbe mais ce n'est absolument pas le cas.

Cette intégrale définit une autre courbe qui avait été proposé par G. W. Leibniz, et que Jacques Bernoulli avait retrouvé à l'occasion de l'étude de la courbe elastique, il s'agit de...

 

L'isochrone paracentrique

Le problème, aussi théorique que peu concret avait été posé par Leibniz,

Le long de quelle courbe un corps doit tomber afin qu'il s'éloigne d'un point donné proportionnellement au temps.

 

En 1694, G. W. Leibniz et Jacques Bernoulli en donnèrent des solutions:

En voici la description donné par Montucla dans son Histoire des mathématiques.

 

La courbe demandée par Leibniz à la forme qu'on voit dans la figure. Elle prend son origine en A et, coupant son axe en P, remonte vers l'horizontale, qu'elle touche en E.

Leibniz en donna une analyse en 1694.

Créé le 01/09/07 et et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07