ISOCHRONE PARACENTRIQUE

 

Leibniz donna une analyse de l'isochrone paracentrique en 1694. Elle se trouve dans Lb, p. 282. Voici cette analyse modernisée quant au langage et aux notations.

Le point pesant C part de A, avec la vitesse initiale orientée dans le sens [Ay), au temps t = 0. La force de pesanteur est orientée selon [Ax).

Quelle trajectoire doit-il parcourir pour que la durée du mouvement soit proportionnelle à la distance AC ? Comme on suppose que le mobile ne subit aucun frottement de la part de sa trajectoire, seule la force de pesanteur travaille.

On prend pour sa masse m = 1.

On note AC = r, AB = x et enfin AL = z.

Leibniz pose ,g est l'accélération de la pesanteur et a une constante à partir de laquelle on trace le cercle de centre A et de rayon a.

La durée du mouvement étant donnée proportionnelle à CA = r. Leibniz pose :

Cette constante n'a rien d'arbitraire, elle permet à l'équation différentielle de se simplifier facilement.

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué à ce mobile donne:

Or la vitesse v exprimée en coordonnées polaires est :

Leibniz obtient alors l'équation très simple:

En utilisant le fait que la durée du mouvement est proportionnelle à r ; il aboutit à l'équation différentielle suivante de la trajectoire:

Avec le théorème de Thalès dans le triangle AML, il écrit : .

L'équation différentielle précédente devient alors:. Il utilise alors la variable angulaire , pour exprimer z en fonction de . Ainsi puisque :

, on a

Il faut prendre garde que le changement de variable n'est valide ici que sur .

Il en tire l'équation (Leibniz n'en prend que la partie positive) qu'il intégre pour obtenir:

Le changement de variable donne l'intégrale annoncée :

.

Voici la trajectoire du mobile :

 

 

 

Créé le 01/09/07 et et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07