LES FONCTIONS LEMNISCATIQUES

de C.F. GAUSS

 

Premières recherches

Gauss a peu publié de son vivant, il ne voulait faire paraitre que les choses qu'il avait murement réfléchies. Mais il a tenu réguliérement un journal (Tagebuch) des recherches et des découvertes qu'il faisait et ses papiers contiennent de nombreuses notes marginales qui sont autant de témoignages de son activités.

Gauss connaissait les travaux d'Euler sur les fonctions elliptiques, de sorte qu'il ne tarde pas lui-même à étudier ces fonctions. Une notice de son journal datée du 9 septembre 1796 rapporte :

Si on pose comme et on aura

Ainsi dès 1796, Gauss s'intéresse aux intégrales elliptiques et met en oeuvre la fonction réciproque de l'intégrale comme le montre le passage suivant extrait de ses papiers et provenant de [G, VIII, p.93-94] :

 

RECHERCHES

SUR LES FONCTIONS TRANSCENDANTES QUI TIRENT LEUR

ORIGINE DE L'INTEGRALE


On désigne, d'une façon générale, la valeur de l'intégrale prise de x = -1 jusqu'à x = z par ; inversement quand , on pose . Alors, P est une fonction de y uniforme et périodique; ce qui peut être rendu clair par le schéma suivant:

Les y représentent les abscisses, Py les ordonnées. Nous désignons la valeur de , pour z = 0 par (approximation=1,402186). Ensuite, 6 est, d'une façon générale, la valeur de la période, c'est à dire que quand k représente n'importe quelle valeur entière.

Les propositions précédentes sont vraies dans le domaine spécifié de nos définitions. Cependant, nous pouvons comprendre par la valeur de l'intégrale de x = -1 jusqu'à x = z - 1 (qui sera réelle quand on abaissera la valeur des abscisses à partir de 1.

 

Dans ce passage sont définies deux fonctions réciproques possibles de deux intégrales voisines notées . Gauss hésite entre les deux formes, l'une donnant P(0)=-1 et l'autre P(0)=0. Les formules données ici ressortent de l'utilisation du théorème d'addition pour obtenue à partir de la formule donnée plus haut . Gauss a vraisemblablement suivi le chemin au fil des idées originelles d'Euler.

D'ailleurs, ces formules renvoient directement au théorème d'addition des fonctions de Weierstrass pour et . Les formules se déduisent facilement du théorème d'addition : A partir de et on trouve sans efforts les autres résultats de Gauss.

 

Calculs numériques

Gauss étudie les deux intégrales et qui apparaissent déjà chez Euler qui fournit l'égalité.

Gauss rappelle la valeur numérique de A donnée par Stirling :

A = 1,31102877714605987

Il vérifie cette valeur en usant d'une formule étonnante, analogue à la formule de Machin pour , afin de calculer ce nombre qu'il désigne par :

Le calcul des quantités et B l'a semble-t-il particulièrement mobilisé puisqu'il en fourni différentes méthodes dont certaines très habiles.

 

Les fonctions lemniscatiques et les variables imaginaires

Le 18e siècle a dégagé peu à peu la notion de fonction en tant que telle. Néanmoins, elle reste attachée à ses représentations soit au moyen d'une courbe, soit par une expression algébrique, soit enfin avec une série. Ainsi, les domaine de validité de toutes ces représentations restent flous, en particulier la notion de convergence d'une série demeure souvent intuitive. Néanmoins, l'idée de fonction, entités mathématiques à part entière va s'affirmer avec Gauss qui apparait être le premier à utiliser explicitement les fonction réciproques des fonctions elliptiques.

Gauss s'intéresse à la Lemniscate au mois de janvier 1797 comme l'indique une note de son journal :

Je commence à étudier la courbe lemniscatique (élastique) dépendant de l'intégrale

8 janvier 1797.

Il est sûr que Gauss s'était décidé à faire une étude détaillée de l'intégrale lemniscatique. En effet, comme cette dernière prenait naissance dans la rectification de la lemniscate, il espérait trouver dans celle-ci une naturelle analogie avec les intégrale trigonométriques. Cependant, il dût se rendre à l'évidence que l'intégrale décrivant l'arc de lemniscate n'avait que peu d'analogie avec l'intégrale trigonométrique fournissant l'arc de cercle, car les théorèmes d'addition liés à celle-là était beaucoup plus compliqués que ceux des fonctions trigonométriques.

Il étudie d'abord l'intégrale et en considère la fonction réciproque. Ensuite, à partir du théorème d'addition de l'intégrale lemniscatique il découvrit d'importants résultats : la fonction réciproque de l'intégrale lemniscatique est une fonction univoque et périodique.

Gauss pose :

et rassemble les formules d'addition et les formules de multiplication ensemble. Voici le début du passage correspondant dans les papiers de Gauss [G, III, p.404-405] :

 

TRES REMARQUABLES PROPRIETES DE L'INTEGRALE.

ELEGANTIORES INTEGRALISPROPRIETATES

[1]

Nous designons toujours par la valeur de cette intégrale de x = 0 jusqu'à x = 1. Nous désignons la variable x, relative à cette intégrale par sin lemn et, relative au complément de cette intégrale à par cos lemn. De sorte que :

On peut considérer la variable x comme le rayon vecteur de la courbe, et l'intégrale comme l'arc correspondant de cette courbe que l'on appelle Lemniscate. Ces considérations suffisent pour comprendre ce qui suit.

[2.]

k représente un nombre entier quelconque positif ou négatif; le signe supérieur étant pris quand k est pair, l'inférieur quand il est impair.

[3.]

Dans le groupe de formules [2], on trouve qui relie le cosinus lemniscatique au sinus lemniscatique : c'est la relation de Fagnanno. On trouve en dessous le théorème d'addition d'Euler. il y a de la part de Gauss une recherche active, au moyen de nombreux calculs avec des formules, des propriétés de ces fonctions nouvelles.

L'usage du théorème d'addition d'Euler pour l'intégrale du premier genre apparait comme un moment essentiel, il sera adapté à l'addition et à la multiplication de la fonction réciproque comme on le voit dans le passage cité plus haut. Mais Gauss n'en restera pas là, et il développera par la suite de véritables méthodes quantitatives (séries, problèmes de convergences).

A partir de ces dernières, il semble être passé bientôt à l'équation de la division car le 19 mars 1797 il porte déjà dans son journal :

Pourquoi parvient-on à une équation de de degré quand on divise la courbe lemniscate en n parties.

La forme de cette question montre que vraisemblablement Gauss avait découvert les deux périodes imaginaires des fonctions lemniscatiques. En effet, la double périodicité laisse reconnaître le "pourquoi" du fait que la division est de degré . Mais ce résultat sous-entend que Gauss était obligé d'étudier ces fonctions pour les valeurs complexes de la variable.

Il faut ici rappeler qu'à cette époque la notion de fonction de variable complexe reste intuitive sinon mal connue, et ne s'appuie sur aucun résultat tant précis que rigoureux. Il faudra attendre le milieu du 19e siècle pour que ces domaines commencent à être éclaircis, en particulier, après les travaux de Cauchy.

Gauss apparait ainsi comme un initiateur dans ce domaine à qui il fait certainement allusion dans une des notes de son journal :

Grandeurs imaginaires : On recherche un critère général selon qui les fonctions de plusieurs variables
complexes pourraient être reconnues à partir des non complexes.(*)

Bien que la phrase soit embrouillée, on imagine un vrai problème. Quoi qu'il en soit, il est peu probable que Gauss ait utilisé communément, comme on le fera plus tard, la notion de grandeur complexe, et ce qu'il comprenait par les terme fonctions complexes ou non complexes n'avait vraisemblablement que peu de rapport avec les notions actuelles. Néanmoins nous apercevront au niveau de l'équation de la division le moment décisif qui engagea Gauss à rechercher les fonction lemniscatiques pour les valeurs de l'argument de la forme .

L'observation de l'intégrale dans laquelle on change la variable x en ix ou des séries ci-dessus exprimant et en fonction de l'argument lui suggère les égalités :

L'utilisation des formules d'addition lui montre alors l'existence, d'une part de la période réelle et, d'autre part d'une période imaginaire . Ces mêmes calculs le conduisirent à examiner les périodes avec a et b entiers relatifs.

 

Multiplication complexe

Il s'agit de savoir ce que deviennent les fonctions lemniscatiques et quand on multiplie l'argument par des nombres entiers ou des nombres de la forme avec u et v entiers. Un premier travail consiste à essayer d'exprimer ces dernières en fonctions de et . Cette idée est connue depuis longtemps pour les fonctions trigonométrique dont les formules de duplication, triplication etc. sont :

Gauss détermine des formules analogues pour ses fonctions lemniscatiques, mais en passant par les intermédiaires P, Q, p, q. qui représentent respectivement les numérateurs et dénominateurs des cosinus et sinus lemniscatiques.

On retrouve facilement (!) les formules de multiplication des arguments pour sin lemn et cos lemn en écrivant les rapports :

Bien sûr, ces formules sont plus compliquées que leurs analogues trigonométriques parce qu'elles contiennent des dénominateurs. On remarque, ce qui n'avait pas échappé à Gauss, que pour les premières valeurs de n, (c'est moins clair pour ) s'exprime comme une fonction rationnelle de de degré .

Il passe ensuite à la multiplications des arguments avec des nombres complexes de la forme (u + iv) :

Gauss utilisa assez rapidement, semble-t-il, les dénominateurs et numérateurs des fonctions sin lemn et cos lemn qu'il appela d'abord . Il semble, au début, que ces quantités étaient entachées d'un certain flou dans la mesure où elles pouvaient n'être connues qu'à un coefficient multiplicateur près. Cette difficulté n'étaient pas génante dans les formules de multiplication des arguments qui sont homogènes en ces dénominateur et numérateur. Ce que l'on peut voir ci-dessus en P et Q.

En effet, Gauss reconnu après, par une induction numérique, une propriété remarquable du dénominateur de sin lemn, a savoir la valeur de , qu'il énonce dans la note 63 de son journal :

[3] Dés lors si pour le Dénominateur (du sinus lemn) pour l'arc on pose , le Dénominateur pour l'arc sera = .

[4] alors = 4,810481

[5] Dont le nombre logarithme néperien est = 1,570796 i.e. = ce qui est très remarquable et la démonstration de cette propriété promet un très important accroissement de l'analyse.

17 mars 1797

Autrement dit . Mais, à cette époque là, cette propriété reste pour Gauss une conjecture qui précise, pour autant que ce fut nécessaire, les définitions de M et N.

Gauss changea ensuite de notation en prenant P, Q, p, q comme numérateurs et dénominateurs

Développement en séries : produits infinis

Gauss détermine ensuite les zéros et infinis des fonctions sin lemn et cos lemn toujours à partir des formules d'addition de ces fonctions et déduit ensuite la convergence de ces fonctions sous forme de quotients de produits doublement infinis.

Voici ce qu'il écrit quant à ces produits [G, III, p.415-416]

Gauss est sensible aux problèmes de convergence de tels produits puisqu'on le voit ébaucher des études dans ce sens.

Quoiqu'il en soit, les fonctions lemniscatiques sin lemn et cos lemn apparaissent ainsi comme quotient de fonctions transcendantes.

Il développe d'ailleurs ces fonctions transcendantes en série des puissances de la variable x. Il remarque [G, III, p.406] que

Les formules pour P, Q, p, q développées à l'infini convergent plus vite que n'importe quel convergence donnée, quant à la formule pour elle diverge pour et la formule diverge pour .

Rappelons le, les démonstrations de Gauss faisant intervenir des séries sont essentiellement des calculs formels et des manipulations d'ordre algébriques. Quand le calcul des premiers termes lui fait percevoir la loi d'évolution de la série il induit le résultat. L'analyse tant réel que complexe telle qu'on la conçoit de nos jour en est à ses balbutiements.

 

Développement en séries : séries trigonométriques

De nouvelles recherches l'amènent à développer ses fonctions lemnicatiques en séries de sinus des multiples de l'arguments, il rassemble ses resultats dans une note de son journal datée de juillet 1798. Les coefficients restent encore numériques :

On aperçoit bien ici, chez ce grand mathématicien que fut Gauss, l'évolution de ses propres découvertes qui commencent par des aperçus numériques avant de devenir plus tard des résultats généraux qu'il démontre.

Les développements en produits infinis des numérateurs et dénominateurs des fonctions lemniscatiques lui donnent la preuve de l'égalité qu'il n'avait que simplement conjecturée. Il découvre ensuite dans toute leur généralité les coefficients du développement de :

Gauss s'attéle maintenant aux développement en série trigonométriques des numérateurs et dénominateurs des ses fonctions lemniscatiques.

Il prend les logarithmes des numérateurs et dénominateurs qu'il a précédemment développé en produits infinis et avec l'utilisation de la formule

il les développe directement en séries selon les les cosinus des multiples paires de :

Il trouve ensuite les représentations de P, Q, p, q sous la forme de séries développées selon les sinus et cosinus .

Remarquer que dans la première de ces ces formules les exposants des exponentielles sont proportionnels aux termes de la suite des carrés des entiers. Jacobi appellera des fonctions analogues et , ces fonctions sont à l'origine des fonctions appelée aujourd'hui theta [Se, p.171] et sont caractéristiques des fonctions elliptiques. Ces formules s'associent naturellement dans l'identité:

et au suivantes :

Nous voyons apparaître, dans ces derniers résultats, la grandeur que Gauss a si souvent calculé à travers . De plus la représentation de par des séries de puissances de ou dont les exposants sont proportionnels aux termes de la suite des carrés des entiers peut avoir suggéré à Gauss les premières suspicions d'un lien existant entre la grandeur de et l'agM (voir chapitre suivant) .

Finalement, les découvertes décrites amènent la Théorie des fonctions lemnicatiques à un haut degré de développement, ce qu'avait pressenti Gauss, quand il écrit dans son journal en Octobre 1798 :

Un nouveau champ de l'analyse s'ouvre à nous, évidemment l'examen des fonctions etc.

Octobre 1798

Il est vraisemblable que Gauss avait conscience que les méthodes appliquées aux fonctions lemniscatiques et les propriétés amenées à émerger par l'entremise de ces dernières, ne représentaient pas seulement quelque chose de nouveau - comme on le connait chez les transcendantes élémentaires - mais que la portée de ces méthodes ne pouvaitt être limitée aux fonctions lemniscatiques qui constituent le premier membre d'une classe étendue de fonctions nouvelles formant un nouveau champ de l'analyse dont Gauss avait ouvert les portes.

Une remarque jette quelques lumières sur les idées de Gauss ; en 1828, il écrit dans une lettre à Bessel, datée du 30 mars :

Je ne pourrai probablement pas pour l'instant encore venir à l'élaboration des études poursuivies depuis de nombreuses années (1798) sur les fonctions transcendantes, puisqu'avec quelques autres choses, ceci doit encore être déblayé.
Monsieur Abel m'a devancé maintenant, comme je le vois, et ma relevé, à maints égards, de l'effort dans environ un tiers de ces choses, surtout, qu'il a fait tous les développements avec élégance et concision. Il a pris justement le même chemin que je suivais en 1798, ainsi, la grande conformité des résultats n'est pas à étonner ; afin que toute interprétation fausse fut prévenu, je remarque cependant, que je ne me souviens pas d'avoir annoncé à quelqu'un, quoi que ce soit de ces choses.

GAUSS aussi bien qu'ABEL sont, en effet, d'abord partis du théorème d'addition, à l'aide de celui-ci même ont prouvé la périodicité, ensuite ont alors déterminé les positions des zéro et des infinité des fonctions sin lemn et cos lemn et à partir de ceux-ci «avec des règles connues» ont extraits les représentations des numérateurs et des dénominateurs sous forme de produits infinis.

(*) Quantitates imaginariae : Quaeritur criterium generale, secundum quod functiones plurium variabilium complexae ab incomplexis dignosci possint

(**) Gauss s'inspire du développement des fonctions trigonométriques en produit infini. Ainsi, en mettant en regard l'équation sin x = 0 pour , où k parcourt l'ensemble des entiers relatifs, avec le produit infini on généralise aux fonctions trigonométriques un théorème spécifique aux polynômes et à leurs racines. Gauss applique le même traitement aux fonctions lemniscatiques, la «démonstration» exige pour être compléte des résultats relatifs aux fonctions complexes et ce résultat se traduit actuellement sous la forme du théorème de factorisation de Weierstrass.

 

Créé le 01/09/07 et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07