LA THEORIE DE L'AGM

selon C.F. Gauss

 

Introduction

L'agM est la Moyenne arithmético-géométrique. C'est le nombre réel obtenu comme limite de la suite suivante appelée arithmético-géométrique, on le note en général .

Dans cette suite est moyenne arithmétique de et , moyenne géométrique de et , d'où le nom de cette suite. La convergence de cette suite s'établit facilement, il est par contre beaucoup plus difficile de déterminer des propriétés de sa limite autre qu'une valeur approximative.

Lagrange avait déjà utilisé cette suite pour ramener les intégrales elliptiques à une forme calculable. Mais intéressé seulement par le classement des intégrales elliptiques et de leur réduction à quelques types connus il avait négligé l'étude de la suite en elle-même, ce que va faire Gauss brillament .

 

Premières recherches

On ne connait pas l'origine des recherches de Gauss sur l'agM. La plus ancienne note relative à l'agM donne le développement:

représente l'agM entre 1 et 1+x. C'est la limite de la suite arithmético-géométrique dont les valeurs initiales sont 1 et 1+x. Gauss construit ainsi une suite de fonctions dont il développe la limite en séries selon les puissances de x. Tous ces développements sont fait de façon formelle et n'utilisent que des précédés calculatoires et algébriques. Il donne d'ailleurs la réciproque de la série précédente :

Il semble qu'il se soit intéressé à l'agM avant 1798 et ses efforts portent essentiellement sur l'étude de la limite M(a,b)a et b sont des fonctions d'une variable : il s'applique alors à déterminer la nature de cette limite.
Par ces développements en série Gauss essaie de la reconnaître, c'est à dire de voir si elle ne se rapporte pas au développement d'une fonction connue, pour cela il est nécessaire, dans un premier temps, d'apercevoir la loi d'évolution des coefficients et il est manifeste qu'elle n'est pas visible sur les série ci-dessus.
Dès 1798, il semble en possession d'un certain nombre de résultats numériques concernant l'agM, certains très précis comme celui qui apparait dans un papier de 1800 :

a', b'; a'', b''; etc, constituent les termes successifs de la suite arithmo-géométrique. Les dernières valeurs constituent un encadrement de l'agM à 20 décimales.

Dans le texte qui suit il fait le développement de . Ce document a été commencé en 1800, après les principales découvertes concernant l'agM; comme les moyens utilisées ici ne sont que des manipulation formelles de séries on peut imaginer que ce sont des procédés qu'il a utilisé au début de ses recherches sur l'agM. La dernière phrase est intéressante et traduit un mouvement d'humeur qui va le conduire à développer au lieu de .
L'idée est simple et elle put apparaître naturellement à l'esprit de Gauss au cours de ses recherches, mais ses conséquences sont aussi immédiates que fructueuses. Il écrit en 1799 avec d'autres développements :

et ici, la loi d'évolution des coefficients est particulièrement claire.

 

 

L'agM et la période des fonctions lemnicatiques
A cette époque Gauss est déjà familier avec les intégrales elliptiques, et il est possible qu'il ait envisagé des rapprochements entre ces dernières et l'agM. En effet, dans un texte eulerien Observation sur la rectification de l'ellipse (*) on trouve le développement de la longueur du quadrant de l'ellipse :

L'analogie de ce dernier développement avec le précédent apparait facilement. Il figure d'ailleurs tel quel dans les oeuvres de Gauss. Guidé par cette ressemblance, il est possible que dans un premier temps il ait cherché à reconnaître numériquement des égalités entre différents développements.

Pour corroborer cette hypothèse, il semble d'ailleurs que c'est par induction numérique qu'il trouve ce qui constituera le résultat le plus remarquable de ses recherches sur l'agM : dans lequel représente le demi périmètre de la lemniscate ou la demi période des fonctions lemniscatiques qu'il connait depuis 1797. C'est du moins ce que suggère la note 98 du 30 mai 1799 de son journal :

 

L'agM entre 1 et est identique à , c'est ce que nous avons vérifié jusqu'à la onzième décimale; si cela est prouvé, un champ vraiment nouveau de l'analyse est ainsi sûrement ouvert.

Brunswick, 30 mai 1799

 

On trouve ensuite, daté de nov. 1799, dans une écriture soigneuse et encadrée de lignes, les séries montrées à droite. La comparaison de la série (A) donnée plus haut, dans laquelle on fait a = 1 et avec la série [1] ci-contre donne la preuve de l'égalité du 30 mai. En fait, il est possible que Gauss ait écrit ces développements justement à partir de cette égalité, néanmoins des développements analogues sont connus de lui depuis 1797 - 98.

 

Recherche d'une démonstration

Cependant Gauss cherche une démonstration de cette propriété. Apparemment, cela prit quelques temps et lui permit de trouver des resultats collatéraux comme ceux qu'il énonce dans son journal :

 

Nous avons trouvé depuis longtemps que la Moyenne Arithmético-Géométrique est réprésentable comme quotient de deux fonctions transcendantes ; maintenant nous avons découvert que l'une de ces fonctions est réductible à des quantités intégrales.

Helmstadt, 14 décembre 1799

 

La première phrase fait référence à une formule que l'on trouve dans ses papiers [G1,X1, p. 186] :

Ici, Mx désigne M(1,x). Cette propriété n'est pas une réponse directe à sa préoccupation présente, mais elle montre Gauss en train de chercher dans de multiples directions. La façon dont il a obtenu cette formule n'est pas très explicite dans ses papiers, mais elle conduit à une limite qui sera redécouverte par Legendre :

La deuxième phrase de la note du 14 décembre 1799 n'est pas claire. Il fait peut-être référence à la première partie de la démonstration où il est dit c'est pour quoi, de cette façon, nos moyennes arithmético-géométrique se ramènent à des quantités intégrales et cette remarque part de l'équation différentielle linéaire du second ordre :

que les valeurs inverses de et de satisfont.

 

La démonstration

On trouve écrit dans son journal et datée du 23 décembre 1799 la remarque finale :

 

La moyenne arithmético-géométrique est elle-même une quantité intégrale. Démontré.
23 décembre 1799

Avec ses travaux d'astronomie théorique, Gauss est amené à étudier des expressions de la forme . Son extraordinaire habilité à manipuler les séries le conduit à constater que le terme indépendant de dans le développement de est exactement l'inverse de , comme le montre ce passage extrait de ses oeuvres.

De plus, avec la série (A) il pose avec et écrit [G1, X1,p.187]

La conséquence de ce résultat est immédiate et fournie l'égalité

liant de façon générale l'intégrale elliptique avec l'agM. Dans ce même papier commencé en 1800 [G,III, p. 370] il démontre très clairement cette propriété.

La célèbre relation annoncée par Gauss le 30 mai se déduit de la relation (C) mais pas si aisément que cela. En posant le résultat est immédiat mais lui a peut-être posé des problèmes, Gauss connaissait certainement ce raccourci mais n'y fait pas explicitement allusion. Il semble qu'il ait plutôt utilisé qui conduit à l'intégrale que l'on rencontre dans ses travaux.

 

En Guise de conclusion

En conclusion de ce travail très fructueux de Gauss nous donnerons un extrait d'un texte à vocation astronomique dans lequel, ainsi que l'indique le titre, il cherche à déterminer l'attraction exercée sur un point par une planète dont la masse serait répartie sur tout l'orbite(*). Le texte est daté de 1818 et ce travail lui permet de retrouver, entre autres choses, un résultat montré 18 ans plus tôt, sous une autre forme, à savoir

Si alors

Voici la partie du texte qui concerne l'Agm.

Ainsi par une démonstration expéditive Gauss montre directement le résultat annoncé ci-dessus. Poincarré, dans sa Théorie du potentiel Newtonien [P, p. 32 et suiv.], fera référence à cette démonstration et à Gauss lui-même. Mais ce dernier ne s'arrète pas là, dans ce mémoire, et donne d'autres résultats directement mathématiques, preuve que ces recherches le fascinent toujours au point de la distraire de l'occupation présente. Ainsi, il n'hésite pas à faire connaître quelques jolies applications hors de sont propos astronomique et d'ailleurs pas vraiment utiles telles cette expression remarquable de l'intégrale suivante qu'il développe au moyens des termes successifs de la suite arithmético-géométrique :

Cette expression parait si remarquable au commentateur de ce mémoire qu'il s'exclame:

Il n'échappera pas au lecteur attentif combien de tâches intéressantes liées aux transcendantes considérées ici sont résolues par l'algorithme expliqué avec la plus grande facilité.

Il donne alors comme exemple la rectification de l'ellipse : si on prend pour son demi-grand axe m et son demi-grand axe n on aura pour le périmètre de l'ellipse :

Il est assez curieux de remarquer combien l'esprit des recherches de Gauss était différent de celles de Lagrange qui dans son mémoire de 1784 était parvenu à un résultat très proche. Mais Lagrange préoccupé sans doute par l'obtention rapide d'une méthode utile pour calculer les intégrales elliptiques ne s'était pas arrété à ce genre de «subtilités».

 

(*) Animadversiones in rectificationem ellipsis, EI, vol. prius p. 121ff

(**) Determinatio attractionis, quam in punctum quodlibet positionis datae exerceret planeta, cuius massa par totam eius orbitam, ratione temporis, quo singulas partes describuntur, uniformiter esset dispertita. [G, III, p. 331]

 

Créé le 01/09/07 et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07