LE THEOREME DE LANDEN

ou comment exprimer un arc d'hyperbole

avec

deux arcs d'ellipses

 

Une recherche bien curieuse

Dans la périodique anglais Philosophical Transactions, John Landen fait paraître, en 1771, un article où il parle de certaines Fluentes, entendez intégrales, réprésentables par des arcs de sections coniques. Dans l'introduction de cet article [Lan2, p298], il fait référence au travaux de MacLaurin et de D'Alembert, sur ces sujets. Mais ce qui le préoccupe, est un problème très particulier dont il dit trouver l'origine chez d'Alembert. Il concerne ce que devient la différence entre un arc d'hyperbole et sa tangente quand le point de tangence est rejeté à l'infini, auquel cas la dite tangente se confond avec l'asymptote.

 

Si ADE représente une hyperbole d'axe (AC) . Soit E une point de cette courbe à partir duquel est tracée une tangente (QE). De l'origine du repère C est abaissée sur cette tangente, la perpendiculaire (CQ). Ce que Landen appelle la tangente correspond à la longueur QE qu'il compare donc à l'arc . Quand E tend vers l'infini sur la branche hyperbolique ADE, la tangente (QE) se confond avec l'asymptote. On ne voit pas très bien ce qui put motiver Landen pour une telle recherche, sinon d'apprecier la différence de longueur de deux lignes infinies : la courbe et son asymptote. Un problème de limites qui pouvait lui paraître étrange. Quoi qu'il en soit, il donne, dans cet article, des réponses pour différentes hyperboles particulières et montre que cette limite est finie. Cette longueur QE est intéressante, car c'est une grandeur géométrique indépendante du répère considéré, en effet le point d'où sont issues les perpendiculaire peut être quelconque dans le plan. En langage actuel la distance QE, que j'appellerai tangente-podaire, est donnée par :

L'ensemble des points Q décrit une autre courbe appelée podaire de l'hyperbole pour C . C'est MacLaurin, dont se réclame Landen, qui fit paraître entre 1718 et 1720 différents articles concernant, entre autre chose, la génération de courbes par la méthode des podaires (selon la terminologie introduite au 19e siécle, le grec podos signifie pied) et qui sont les lieux des projections d'un point fixe sur les tangentes à une courbe donnée [Ch, p.103]. Ainsi, la podaire d'une hyperbole équilatère pour son centre est une lemniscate de Bernoulli. Il est possible que Landen se soit inspiré de cette théorie pour y puiser l'idée d'un paramètrage lié à la tangente-podaire QE.

C'est à l'occasion de cet article qu'il annonce à la fin :
 
J'ai découvert un théorème général pour la rectification de l'Hyperbole au moyen de deux ellipses dont je me propose de faire le sujet d'un prochain article.
 

 

 

   

Rectification de l'hyperbole au moyen de deux ellipses

C'est dans un autre article des Philosophical Transactions [Lan2, p. 283] qu'il s'acquitte de ce qu'il à promis et démontre le théorème qui constitue la raison d'être de ce nouvel article, à savoir que la longueur de tout arc d'hyperbole s'exprime au moyen de deux arcs d'ellipse :

Hyperbole :
Ellipse :
Ellipse :

 

C'est la formule démontrée et donnée par Landen où AD représente l'arc d'hyperbole, DP la tangente-podaire et . On en déduit facilement l'arc d'hyperbole en fonction des arcs des deux ellipses et de deux quantités algébriques t et DP.

La démonstration de Landen a une base géométrique, rien que par le choix de la tangente-podaire DP.

Legendre va découvrir ce théorème et en tirer sa transformation, basée sur le passage de l'ellipse de la fig 3 dont les paramètres sont , à celle de la fig 2 dont les paramètres sont .

Voici une traduction du présent article de J. Landen, accompagné d'un commentaire de la partie qui nous occupe.

Conclusion

MacLaurin et D'Alembert avaient tenté de ramener un certain nombre d'intégrales à la rectification d'arcs de sections coniques, c'est à dire, le cercle étant exclu, à des arcs d'ellipse ou d'hyperbole. Il semble que ces deux mathématiciens ne se soient pas posés explicitement la question de savoir si les arcs d'hyperbole pouvaient s'exprimer d'une façon ou d'une autre au moyen d'arcs d'ellipse et inversement. Il est vrai que les arcs elliptiques restant irréductibles par rapport aux arcs circulaires - entendez qu'il n'est pas possible d'exprimer un arc d'ellipse avec des fonctions circulaires - trouver une relation entre les arcs d'ellipse et d'hyperbole paraissaient peut-être vaine. Or, voilà que par accident, à l'occasion d'une autre recherche, John Landen trouve ce qu'on osait se poser. Le résultat reste d'importance et Legendre le postulera sans en connaître une démonstration dès 1786.

Créé le 04/12/07 et maintenu par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 06/12/07