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sur le mot transcendant apparaissant dans quelques textes

 

Leibniz, Sur la géométrie profonde...[Lb, p. 134]
  Mais pour en venir à des choses plus utiles, je dois à présent dévoiler l'origine des quantités Transcendantes, et montrer pourquoi certains problèmes ne sont ni plans, ni solides, ni sur-solides, ni d'aucun degré déterminé, mais surpassent toute équation Algébrique. Je révélerai du même coup un moyen de démontrer, sans calcul, qu'il est impossible de trouver une quadratrice Algébrique du cercle et de l'hyperbole. Supposons en effet que nous en disposions, s'ensuivrait grâce à elle la possibilité de diviser un angle ou un rapport, soit encore un logarithme, dans le rapport de deux segments donnés, et cela par une construction unique et générale ; par conséquent le problème de la section de l'angle ou de l'établissement d'un nombre quelconque de moyennes proportionnelles, seraient de degré déterminé, alors que, selon le nombre de divisions de l'angle, ou le nombre de moyennes proportionnelles, l'équation Algébrique qu'il faut employer est de degré chaque fois différent et que, de ce fait, considéré en général, pour un nombre quelconque de divisions ou de moyennes proportionnelles, le problème est de degré indéterminé et transcende toute équation Algébrique.

 

Leibniz, Sur la géométrie profonde ... [Lb, p. 136]

Ceci posé, pour trouver ensuite de quelle espèce de Transcendante il s'agit (car les unes relèvent de la section générale d'un rapport, c'est-à-dire des Logarithmes, les autres de la section générale d'un angle, c'est-à-dire des arcs circulaires, d'autres de problèmes indéfinis plus complexes), j'introduis en plus des lettres x et y, une troisième v, symbolisant la quantité transcendante, et je les utilise toutes trois pour former l'équation générale de la courbe inconnue ; je cherche alors à partir d'elle la tangente, en appliquant la méthode des tangentes que j'ai publiée dans les Acta d'Octobre 1684(*), qui convient également aux grandeurs transcendantes. En comparant alors le résultat avec la propriété imposée aux tangentes, j'identifie non seulement les lettres a, b, c que j'ai supposées, mais aussi la nature particulière de la transcendante (**). Il peut arriver que plusieurs transcendantes, parfois de nature différente, soient nécessaires, qu'apparaissent des transcendantes de transcendantes, et ceci, en règle générale, à l'infini, bien que nous puissions nous contenter des plus simples et des plus utiles ; (...) Il apparaîtra ainsi combien j'avais raison de prétendre que par cette seule méthode, on mène la Géométrie considérablement au-delà des limites que lui assignaient Viète et Descartes, puisque de cette façon on prolonge aux problèmes qui ne sont d'aucun degré déterminé et qui, par conséquent, sortent du cadre des équations Algébriques, l'usage d'une Analyse précise et générale.

 

(*) Nova methodus pro maximis et Minimis... [Lb, p. 96] C'est l'article fondamental de Leibniz, le manifeste, pourrait-on dire, du Calcul Différentiel.

(**) Voici un exemple, donné par Leibniz d'ailleurs. Soit la cycloïde d'équation paramétrique , on peut, sur cette équation, faire apparaître la transcendance de la courbe. On différentie les deux équations pour obtenir , qui donne, ensuite, et par intégration . Cette expression donne la nature particulière de la transcendante et l'ordonnée de la cycloïde s'écrit :

Bien sûr, Leibniz ne se préoccupe pas ici de savoir si les expressions sont bien définies ou uniformes.

 

 

Extrait de l'article Transcendance dans l'Encyclopédie [An] .

 

 

 

Legendre, début du Premier mémoire de 1786, [Le1]

 

Lacroix, 1797 [L, T. 1, Intro, p.4] .
Mais il existe des fonctions qu'on ne sauroit exprimer par un nombre limité de termes, de l'espèce de ceux qui constituent les quantités algébriques : tels sont, par exemple, les logarithmes qu'on ne peut obtenir que par approximation, et qui dépendent de l'extraction de racines; les sinus et co-sinus qu'on ne sauroit évaluer au moyen de leurs arcs, sans y employer un nombre indéfini d'opérations algébriques. On a donné à ces fonctions le nom de transcendantes : celles que nous venons d'indiquer ne sont pas les seules du genre ; les progrès que l'analyse a faits en ont introduit beaucoup d'autres, et peuvent en fournir indéfiniment.

 

 

Lacroix, 1797 [L, T. 1, Intro, p.33] .

 

 

 

Lacroix, 1797, [L, T. 2, p.427] .

Les précédentes sont des fonctions dont le dénominateurs est un radical contenant un polynôme du second degré. Apparemment les mots genre et ordre ont la même signification.

 

Legendre, 1828 [Le3, T3, p. 181]

 

Briot & Bouquet, 1859,
[BrB, p.30]
Il s'agit, vraisemblablement ici d'une simple dénomination

La fonction transcendante log(1+z)

 

J. BERTRAND, 1870,
[Ber]
ne cite aucune fois le mot transcendant dans les chapitres traitant des fonctions elliptiques de son volumineux Traité de calcul différentiel et de calcul intégral.

 

 

 

 

 

 

 

Créé le 04/11/07 et maintenu par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 23/12/07