QUADRATURES ET TRANSCENDANCE

 

Définition et historique

Effectuer la quadrature d'une courbe c'est, au sens propre, déterminer, en utilisant les ressources de la géométrie élémentaire, un rectangle d'aire identique à l'aire sous la courbe.

Il y a là une référence au problème ancien de la quadrature du cercle consistant à construire avec la règle et le compas un carré d'aire égale à celle d'un cercle donné (le latin quadratura désigne un carré et aussi... une quadrature). C'est un problème qui fascina les mathématiciens depuis l'antiquité jusqu'au 19e siécle où l'on montra définitivement que ce problème n'avait pas de solution.

Les grecs ont vite compris qu'il y avait difficulté à vouloir mesurer une aire délimitée par une courbe, en particulier un arc de cercle, au moyen d'un carré. Ce problème causa une grande émulation auprès de ceux-ci et beaucoup cherchèrent le carré introuvable. Bien que globalement le résultat fut un echec, cela permis à la science géométrique grecque de faire de nombreux progrès.

L'initiateur du problème fut peut-être Hippocrate de Chios qui, au 5e siècle avant JC, trouva une jolie quadrature : il s'agit de celles des lunules.

ABC est un triangle rectangle; en utilisant le théorème de Pythagore on trouve facilement que l'aire des deux lunules est exactement celle du triangle rectangle. Le résultat, aussi remarquable que simple à établir a du fasciner les contemporains d'Hippocrate, ce dernier en déduisit une solution erronée au problème de la quadrature du cercle. Il est à noter ici, que la somme de deux aires «transcendantes» est géométrique ou algébrique.

Mais certaines quadratures aboutirent. Ainsi le célèbre Archimède de Syracuse, au 3e siécle avant J.C., fut le premier à calculer rigoureusement l'aire sous la parabole et montra qu'elle était égale au tiers du carré de base (figure plus haut).

 

Géométrie cartésienne

Jusqu'à la découverte des calculs différentiel et intégral, déterminer l'aire sous une courbe quelconque était un problème de géométrie aussi séduisant que l'inaccessible quadrature du cercle mais difficile. La géométrie analytique de Descartes, donnant les moyens de définir de nombreuses courbes par des équations algébriques, polynomes en x et y

g(x,y) = 0

ne simplifia guère le problème qui resta compliqué et subordonné à la recherche de méthodes spécifiques et particulières non généralisables. Ceci n'empècha pas, bien au contraire et tout au long du 17e siècle, les mathématiciens européens de rivaliser d'adresse pour tenter de déterminer les aires ou quadratures des courbes tant les plus connues (le cercle restant de côté vu son irréductibilité ancienne) que les plus exotiques.

Bien que Descartes ait révélé au monde mathématique de son époque cet extraordinaire outil qu'est la géométrie analytique, il avait rejeté de sa Géométrie les problèmes ou courbes que l'on ne pouvait traduire par une équation algébrique en x et y. Il est assez intéressant de remarquer que c'est le calcul des quadratures qui va précipiter les mathématiciens hors du champ strictement géométrique et algébrique marqué par Descartes dans sa Géométrie. Il faut dire que que l'étude des fonctions trigonométriques et surtout logarithmique avait déjà initié ce mouvement.

En effet, si l'on montra assez rapidement (John Wallis, Arithmétique des infinis, 1655) que les équations polynomiales de la forme: délimitent une aire, tout ce qu'il y a de plus algébrique et de la forme :

Il n'en était pas de même de certaines courbes dont les équations algébriques pourtant très simples exhibaient des aires rebelles à toutes traduction en termes algébriques et acceptables dans l'univers de la Géométrie de Descartes.

Ainsi le cercle, cette courbe si commune et dont l'équation algébrique simple est , délimite une aire qu'au 17e siècle on ne sait toujours pas exprimer algébriquement. Pourtant les recherches dans ce sens n'avaient pas manqué et continuaient d'agiter fiévreusement la communauté mathématique de l'époque.

Mais ce n'est pas tout, cette courbe si élémentaire, vu son équation : , et connue sous le nom d'hyperbole équilatère délimite elle aussi une aire qui refuse d'être algébrique. La situation était d'autant plus dérangente que ses "soeurs" d'équation , n>1, générent des aires parfaitement algébriques :

.

C'est Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) qui montra, en 1647, que la quadrature de l'hyperbole dépendait du logarithme. Quantité trop peu algébrique pour Descartes qui l'avait proprement ignorée dans sa géométrie.

 

Flou théorique

Mais qu'appelle-t-on réaliser la quadrature d'une courbe ?

Mais comme je m'aperçois que beaucoup n'ont pas bien saisi ce qu'on cherchait réellement...
G. W.Leibniz, de vera proportione circuli, 1682, [Lb, p. 74]

 

Est-ce, en effet, l'exprimer à partir d'expressions algébriques reconnues implicitement comme élémentaires, ce qui, à l'époque, correspond aux expressions rationnelles, auxquelles on a adjoint les racines nièmes, ou bien, l'exprimer à partir d'expressions admises comme non élémentaires, que l'on traduisait en termes de quadrature d'autres courbes tenues pour élémentaires parce que connues depuis suffisamment longtemps et avec lesquelles on était familiarisée. (les coniques, connues depuis l'antiquité).

Les mathématiciens ne semblent pas unanimement d'accord. Ainsi, Jacques Bernoulli déclare que si on réduit le problème à la quadrature de l'hyperbole (donc à l'utilisation d'un logarithme), on peut considérer le problème comme résolu. Par contre, Huyghens souligne l'ambiguité de certaines quadratures, que selon les cas on suppose connues ou non connues. Derrière ce " flou " se cache la question de savoir ce que l'on considérera comme expressions élémentaires ou fonctions outils. [Lb, p.284]

 

La quadrature comme opération fondamentale

C'est le mathématicien anglais Isaac Barrow (1630-1677) qui prouva que l'opération de quadrature était réciproque de l'opération de différentiation (ou de dérivation). De sorte que, tout au long du 17e siècle les mathématiciens comprirent peu à peu que rechercher la quadrature d'une courbe était une opération fondamentale qui apparaissait naturellement dans de multiples domaines:

Détermination du centre de gravité d'un solide.

Détermination du volume d'un solide.

Longueur d'un arc

&c.

De plus, la physique en plein développement et demandeuse de tels outils commençait à fournir quantités d'exemples. .

Il devenait donc difficile de se limiter aux expressions algébriques et surtout aux courbes algébriques, puisque même ces dernières fournissaient des aires non algébriques, c'est à dire qui résistaient à vouloir s'exprimer par une expression algébrique.

Comment les mathématiciens procédaient-il ? Quand ils ne parvenaient pas à exprimer l'aire délimitée sous une courbe par un carré constructible géométriquement avec règle et compas ou par une expression algébrique simple ils essayaient de se racrocher à des grandeurs attachées à des courbes "connues", cercles ou au pire coniques (parabole, ellipse et hyperboles).

C'est avec ce principe que le français G. P. Roberval (1602-1675) détermine l'aire sous la cycloïde, cette courbe élégante qui défraya les chroniques du 17e siécle et qui n'est autre chose que le chemin que fait en l'air le clou d'une roue quand elle tourne de son mouvement ordinaire nous dit Pascal. Roberval la trouva égale à trois fois l'aire du cercle générateur:

 

La cycloïde et son cercle générateur

 

 

La Quadrature devient Intégrale

A la fin du 17e siécle, Leibniz et Newton héritiers d'une tradition de procédés de calcul infinitésimal, les formalisent et développent les calculs différentiel et intégral. La notion géométrique de quadrature laissa la place à celle d'intégrale.

C'est également à cette époque qu'apparait le concept de fonction, James Gregory en 1667 dans son Vera circuli et hyperbolae quadratura définit une fonction comme :

une quantité obtenue à partir d'autres quantités par une successions [finie] d'opérations algébriques ou dit-il par n'importe quelle opération imaginable

Il semblerait que cette définition prenne en compte en plus des 4 opérations élémentaires et de l'extraction des racines, une sixième opération définie approximativement comme un passage à la limite [ADa, p 216 ][Lb, p.48] qui est une façon de prendre en compte les séries numériques que l'école anglaise va utiliser à l'envie.

Une courbe étant donnée par son équation : y = f(x), déterminer l'aire du domaine OAMB, bordé par les segments OA, OB, BM et l'arc de courbe AM revient à calculer l'intégrale , avec b l'abscisse de B. Le résultat numérique obtenu exprime l'aire de la surface sous la courbe en fonction de l'unité d'aire, définie par le rectangle s'appuyant sur les unités choisies sur les axes Ox et Oy.

Le concept d'intégrale règle immédiatement le problème des quadratures en substituant une expression exacte, le fameux , à la place de difficiles recherches géométriques qui laissaient la part belle à l'ingéniosité du chercheur qui éventuellement en tirait une certaine notoriété. Mais nos espoirs doivent être vite revus à la baisse car, si un certain nombre de fonctions simples se laisse intégrer facilement, une multitude d'autres restent retors à toute tentative de vouloir en exprimer une primitive au moyen des fonctions élémentaires.

En 1702, Jean Bernoulli montre que l'intégrale de toute fonction rationnelle est une fonction rationnelle ou une fonction rationnelle ajoutée à un nombre fini de constantes multipliées par des logarithme de fonctions rationnelles réelles ou complexes, il publia ce résultat dans les Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris en 1702. [Aca1, p.289]

Ainsi, l'intégration est une grande pourvoyeuse de nouvelles fonctions algébriques et ... non algébriques.

Alors que la différentiation (dérivation) de fonctions algébriques ne produit que des fonctions algébriques, l'intégration de fonctions algébriques donne des fonctions algébriques certes, mais trop souvent nous précipite dans les champs inconnus de fonctions peu algébriques.

Les séries

Au cours du 17e siècle les mathématiciens découvrent les séries infinies, domaine immense laissant espérer des résultats innombrables et où la plupart des questions de quadrature se résolvent comme par enchantement : Vous cherchez la quadrature d'une courbe! qu'à cela ne tienne, réduisez l'équation de la courbe en serie infinie et vous obtiendrez après quelques calculs le résultat tant cherchée avec la précision que vous voudrez. Il suffira pour cela développer l'équation de la courbe avec un nombre de termes suffisamment grand. Ainsi, Newton, héritier de la tradition cartésienne rejetait l'intégration en terme de quantités transcendantes. Son traité de 1704, De quadratura curvarum (Quadrature des courbes) contient une liste de séries infinies solutions des intégrales des fonctions suivantes :

Malheureusement les séries ne donnent toujours qu'une valeur approximative, bien que la considération, théorique, de la série dans son ensemble représente le résultat exact, mais que signifie considérer une infinité de termes. En effet, règne encore l'impératif d'obtenir une quantité à l'aide d'une autre par un nombre fini d'opérations algébriques et qui est lié à une théorie des proportions exactes de Descartes. On aperçoit ici, une fois de plus, le poids considérable des livres d'Euclide et de la pensée mathématique grecque [ADa, p215]. Mais la pensée mathématique évolue...

Dés 1682, Leibniz manifeste des idées très claires à ce sujet mais difficiles à mathématiser réellement : que faire d'une infinité de termes, à une époque où les notions de convergence et de divergence restent très rudimentaires.

Un très bel exemple de série de quadrature est rapporté par J. Wallis qui écrit que Lord Brounker était, dès 1657, en possession d'une série remarquable qui donnait l'aire sous l'hyperbole équilatère entre les abscisses 1 et 2. Brounker montrait, par une démonstration géométrique lumineuse que :

Valeur qui est aussi égale à ln(2).

 

 

Reconnaissance des courbes non algébriques par G. W. Leibniz

A la fin du 17e siécle, la plupart des mathématiciens passent outre les recommandations de Descartes et ne se limitent pas aux courbes et quantités «algébriques», c'est à dire à celles qui se déterminent par une équation polynomiale en x et y.

     
 
Les courbes transcendantes ne doivent pas être exclues de la géométrie
 
 
Titre d'une note de Jacques Bernoulli sur la géométrie de Descartes
 

Comme on l'a vu dans les paragraphes précédent, de nombreuses quantités non algébriques apparaissent souvent à travers les Quadratures/Intégrales les plus diverses et leurs études est devenues très importantes.

C'est le mathématicien philosophe G. W. Leibniz qui dès 1682 estime qu'il est indispensable d'admettre dans la Géométrie les courbes et quantités que Descartes avaient rejetées, comme non géométriques, parce qu'elles recèlent des propriétés très importantes. Ils propose de les nommer transcendantes.
C'est dans l'article Sur la géométrie profonde et l'analyse des indivisibles et des infinis, juin 1666 [Lb, p. 126] qu'il pose la question de l'évaluation des quadratures en général : Les quadratures peuvent-elles toutes se ramener à des quadratures algébriques, et si tel n'est pas le cas (Leibniz en est depuis longtemps convaincu), quelles méthode sera-t-elle en mesure de traiter adéquatement des quadratures irréductibles [Lb, p. 127] ?
Pour justifier l'introduction du terme équation transcendante il donne un exemple en justifiant par un raisonnement remarquable la transcendance de grandeurs liées au cercle.
Pour trouver ensuite de quelle espèce de transcendance il s'agit il propose une méthode qui utilise le calcul différentiel puis, le calcul intégral ; pour cela il introduit des variables transcendantes qu'il fait réapparaitre sous forme d'intégrales de fonctions algébriques. Ainsi, la notion d'équation transcendante est subordonnée à celle d'intégrale transcendante.
     
  Il peut arriver que plusieurs transcendantes, parfois de nature différente, soient nécessaires, qu'apparaissent des transcendantes de transcendantes, et ceci, en règle générale, à l'infini, bien que nous puissions nous contenter des plus simples et des plus utiles ; la plupart du temps, il est possible de recourir à des artifices particuliers dont je n'ai pas à parler ici, pour abréger le calcul, et traiter les problèmes autant que faire se peut, en des termes plus simples.  
 
Géométrie profonde... [Lb, p. 136]
 

Si selon le texte cité ci-dessus il est clair pour Leibniz qu'une fonction transcendante n'est pas solution d'une équation algébrique, la mise en place de la méthode reste particulière et difficile d'une façon générale avec les faibles moyens analytiques et algébriques des mathématiques de l'époque.

 

Fonctions algébriques et transcendantes

Pour Descartes/Leibniz, une expression telle que :

g(x,y) = 0, avec g un polynome de x et y à coefficients réels

définit une équation algébrique.

C'est la définition moderne [Du, p. 153] d'une fonction algébrique sur IR, moyennant les à-peu-près liés aux notions de fonction et de structures de base. Une fonction non algébrique sur IR est dite transcendante sur IR. La définition est énoncée de cette façon chez J. Liouville en 1832 dans son Premier Mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique, [Li1, p.98].
Cette définition n'apparait pas être utilisée pour montrer qu'une fonction est transcendante avant le premier tiers du 19e siècle pour les raisons données ci-dessus. L'ensemble des fonctions algébriques contient évidemment toutes les fonctions rationnelles mais également toutes les fonctions contenant des radicaux, ainsi la fonction :

est racine du polynôme .

L'ensemble des fonctions algébriques contient beaucoup d'autres choses puisque l'on sait depuis E. Galois que les équations de degré supérieur ou égal à 5 sont en général non résolubles par radicaux.

Cette difficulté à montrer précisément l'algébricité ou non d'une fonction va conduire les mathématiciens des 17e et 18e siècle à utiliser le terme transcendant dans un sens quelque peu différent :

une fonction est transcendante dans la mesure ou l'on ne parvient pas à l'exprimer au moyen de fonctions plus simples .

La confirmation de son état de transcendance découlant de leur échecs répétés à parvenir à l'exprimer à partir de fonctions plus simples.

Mais, immédiatement se pose le problème évoqué plus haut lors de l'expression des quadratures : qu'accepte-t-on comme fonctions simples ? La première idée qui vient à l'esprit et qui sera admise implicitement par les mathématiciens des 17e et 18e siécle est de considérer comme simples les fonctions obtenues par addition, soustraction, multiplication, division, élévation de puissance et extraction de racine. Viennent, ensuite les fonctions trigonométriques, directes et inverses, les fonctions logarithmes et exponentielles.

Est-ce que toutes les fonctions non algébriques / transcendantes au sens de Descartes/ Leibniz coïncident avec les fonctions non exprimables par des fonctions simples ?

Dans le contexte de l'époque, il est probable que la chose devait être admise implicitement (aujourd'hui c'est faux, une solution d'une équation irréductible du 5e degré est algébrique mais non exprimable par des fonctions simples). N'ayant pas à leur disposition les outils adaptés à de tels études, les mathématiciens des 17e et 18e siècles se contenteront d'admettre la transcendance de leurs fonctions en prenant pour preuve les echecs répétés de leurs prédecesseurs et les leurs à les exprimer sous forme de fonctions simples. Pourtant, et jusqu'au 19e siécle, les mathématiciens seront très sensibles et manifesteront beaucoup d'intérêt pour ce type de question.

Certains mathématiciens tels Leibniz et Legendre imagineront une notion d'ordre ou de genre de transcendances, les fonctions trigonométriques, logarithmes et exponentielles constituant un premier ordre de transcendance par rapport aux fonction simples . Comme les tentatives pour exprimer les intégrales elliptiques au moyen des fonctions élémentaires, des fonction trigonométriques, logarithmiques et exponentielles demeurèrent infructueuses, cela les conduisit à attacher à ces intégrales un second niveau de transcendance.

Lorsque des mathématiciens réussirent à écrire algébriquement une différence de telles intégrales comme le fit Fagnano, ou à exprimer un arc d'hyperbole comme somme de deux arcs d'ellipse, ainsi que le fit Landen ou enfin à exprimer algébriquement le somme de deux de ces intégrales comme Euler, ils ne purent qu'être étonnés, voire fascinés par ces propriétes totalement inattendus : pouvoir exprimer algébriquement des relations entre des quantités transcendante. Ces résultats seront un des moteurs de la naissance et du développement de la théorie des fonctions elliptiques.

Quelques documents relatifs à la transcendance et aux ordres.

Recherches ultérieures

Je me contenterai de citer quelques premiers résultats rigoureux en la matière et qui concernent plus particulièrement les fonctions elliptiques, de grands progrès ont été fait dans tous ces domaines mais, ils dépassent largment le niveau de ce site et celui de son auteur.

Comme on l'a vu le concept de fonction transcendante, ainsi que celui de quantité pouvant ou non s'écrire algébriquement au moyen de fonctions élémentaires sont restés relativement intuitifs au 17e et 18e siècle. Excepté la tentative de Leibniz pour montrer la transcendance des fonctions trgonométriques, on ne trouve pas de démonstration de transcendance au 17e et 18e siécle (disons que je n'en ai pas trouvé...). La notion de fonction transcendante prend tout son sens au 19e siècle avec l'effort de rigueur qui caractérise cette époque, cf plus haut la définition d'une fonction algébrique par Liouville.

C'est Laplace qui, dans sa Théorie analytique des Probabilités (1812) démontre que les fonctions exponentielle et logarithme sont transcendantes sur l'ensembles des fonctions rationnelles. Il utilise les croissances comparées de l'exponentielle, des fonctions puissances et du logarithme. [Lap, p. 4]

Ensuite, c'est Joseph Liouville qui va produire les premiers énoncés rigoureux dans le domaine de la transcendance. On lui doit, entre autre, d'avoir exhibé les premiers nombres transcendants appelés depuis nombres de Liouville. Le concept n'est pas différent de celui de fonction transcendante, ce sont simplement les structures de base qui différent. On a vu plus haut que dès 1832 il donne la caractérisation exacte d'une fonction algébrique.

C'est dans deux Mémoires qu'il caractérise précisément ce qu'il entend par fonctions algébriques [Li1, p. 77] et [Li3, p.39].

Dans le premier, il définit ce qu'il appelle une fonction algébrique explicite dans laquelle la variable x est «engagée» avec des constantes, les quatres opérations élémentaires, l'élévation aux puissances entières et l'extraction de racine. Ces six opérations intervenant en nombre fini. Quand la fonction ne contiendra pas de radicaux on dira qu'elle est rationnelle et irrationnelle sinon.

Une fonction algébrique implicite est celle qui est racine d'une équation algébrique dont les coefficients sont des fonctions rationnelles. Il sait que les deux ensembles ne coincident pas car les équations algébriques de degrés supérieurs à 5 peuvent avoir des racines non exprimables avec des radicaux. Dans le second Mémoire il la notera ϖ (x).

Les autres fonctions sont transcendantes, parmi celles-ci on se contente de considérer les exponentielles et les logarithmes qui renferment les fonctions trigonométrique directes et réciproques, les directes sont exprimables en exponentielles complexes et les réciproques en logarithme complexes. Par conséquent, dans le second Mémoire, il étend ses définitions et parlera d'une fonction finie de x qui peut être écrite en «indiquant» sur la variable x un nombre limité quelconque d'opérations algébriques, d'exponentielles et de logarithmes.

En langage moderne les fonctions finies explicites correspondent aux fonctions élémentaires.

Ces préliminaires posés, dans ce Mémoire il se propose d'étudier, ce qu'on appelle la fonction elliptique de première espèce :

Or, notre but dans ce Mémoire est de prouver que la quantité F ne peut devenir équivalente à aucune fonction finie explicite de x ; mais nous n'affirmons pas qu'il est absurde de la regarder comme une fonction finie implicite.

S'en suit la démonstration de la proposition.

Un théorème énoncé par C. Siegel en 1932 permet de montrer que l'intégrale elliptique de 1e espèce où c un nombre algébrique :

est un réel transcendant [W2]. Le résultat est très puissant, il permet de montrer que la fonction 'intégrale de 1e espèce (c algébrique) :

est transcendante sur Q(x).

En effet, cette intégrale définit une fonction méromorphe F sur le demi plan de Poincaré. Elle admet une limite en 1 égale à K(c).

Si on suppose que F est algébrique sur Q(x) alors sa limite en 1 serait aussi algébrique, ce qui ne se peut puisque cette limite est transcendante. Donc la fonction F est transcendante sur Q(x).

 

Créé le 04/11/07 et maintenu par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 21/06/17