RECHERCHES ET CLASSEMENTS

DES INTEGRALES ELLIPTIQUES

Classement des intégrales

Dès le début du 18e siècle les mathématiciens, avaient déjà cherché à classer les intégrales selon le type de méthode que l'on pouvait leur appliquer pour les calculer. Ainsi, dès 1702, Leibniz et Jean Bernoulli avaient reconnu que lorsque f(x) est une fraction rationnelle il suffit de la décomposer en éléments simples pour ramener l'intégration à quelques intégrales connues c'est à dire à des quadratures de cercle et d'hyperbole (il restait cependant quelques difficultés) [Lb, p. 383-401].

Mac Laurin, D'Alembert et Euler s'appliquèrent ensuite aux intégrales d'expressions qui contenaient des quantités irrationnelles. Ils considérèrent d'abord celles ayant un radical carré et parmi celles-ci reconnurent les familles suivantes :

qui ne posèrent pas de problèmes puisque, moyennant quelques changement de variables judicieux, on peut se ramener à l'intégration d'une fonction rationnelle.

Malheureusement des ennuis sérieux apparurent et subsistèrent lorsqu'ils voulurent calculer des intégrales analogues aux précédentes mais dont le radical contenait un polynôme de degré strictement supérieur à 2. Telles les exemples suivants :

La situation était d'ailleurs plus compliquée car la suivante, qui ne contient pas de polynôme de degré supérieur à 2 sous le radical, est tout aussi irréductible que les deux précédentes:

 

Comment classer des intégrales inexprimables ?

Echouant à classer ces intégrales dans la grande famille de celles qui peuvent se ramener à des quadratures de cercles ou d'hyperboles (autrement dit qui peuvent s'exprimer avec des fonctions trigonométriques ou logarithmiques) ils essayèrent de les exprimer, tant bien que mal, en fonction des quantités apparemment transcendantes qu'ils connaissaient déjà, en l'occurences des arcs d'ellipses ou d'hyperboles. Utiliser des arcs de coniques au lieu de leurs aires pouvait sembler naturel pour étendre le champ des intégrales connues, d'autant que l'on restait dans l'univers des coniques : ces courbes simples et naturelles, connues depuis l'antiquité.
Il est également possible qu'apr
ès avoir exprimé exactement des intégrales avec des fractions rationnelles, puis ensuite, au moyen de fonctions circulaires et de logarithmes ils aient admis que l'étape suivante utilisait des arcs d'ellipses et d'hyperboles.

Je ne connais pas les raisons qui poussèrent Mac Laurin à regrouper plusieurs intégrales de cette famille dans son livre mais il semble bien qu'il fut le premier à le faire :

 

Les Integrales elliptico-hyperboliques de Mac Laurin

Dans son volumineux Traité des Fluxions (1742) l'anglais Colin Mac Laurin, amené à calculer différentes sortes d'intégrales et après avoir passé en revues celles qui se ramènent à des logarithmes ou des fonctions trigonométriques expose plusieurs cas irréductibles analogues. Voila ce qu'il dit dans le chapitre de la réductions des fluentes qu'il faut transcrire par réduction des intégrales :

798. Après les fluentes qui peuvent être déterminées exactement en termes finis, par des expressions Algébriques communes, et celles qui peuvent se réduire aux arcs circulaires, et aux logarithmes, celles, qui méritent la place suivante, sont les fluentes que l'on peut déterminer par les arcs hyperboliques et elliptiques, et celles-ci, avec les premières, sont toutes comprises sous celles qui sont mesurées par des lignes qui terminent les sections coniques, (le triangle et le cercle étant des figures de cette espèce), comme les deux premières sont mesurées par les aires des sections coniques. La fluente de est de la première classe , celle de, ou de est de la seconde; mais les fluentes de et de sont de la troisième classe, et (autant qu'on la put découvrir jusqu'ici) on ne peut pas les réduire à la première. Les fluentes de cette classe, sont quelquefois nécessaires à la résolution des problèmes utiles, et notre dessein nous oblige d'en rendre compte.

Remarquer que Mac Laurin, qui est anglais, utilise le formalisme de Newton, à savoir que les fluentes représentent les intégrales et que les x pointés les fluxions ou différentielles dx. A la suite de ce paragraphe, Mac Laurin montre que les intégrales de la troisième classe peuvent être exprimées par des arcs d'ellipses, d'hyperboles ou par une somme de deux tels arcs. Ses démonstration sont essentiellement géométrique, conformes aux modèle newtoniens, et comme le dit d'Alembert encore n'a-t-il employé pour cette réduction qu'une espèce de synthèse, (...) sans montrer la route qu'il a suivie pour y parvenir.

Ainsi, Mac Laurin regroupe ici, un certain nombre de cas particuliers qui lui paraissent analogues quant à leurs solutions mais ne va pas plus loin dans l'analyse de ce phénomène.
Voici la dernière expression que Mac Laurin propose dans ses exemples :

Elle est assez générale et il déclare que sa fluente exige deux arcs, l'un hyperbolique l'autre elliptique.

Recherches de d'Alembert

D'Alembert va publier trois Mémoires sur le Calcul Intégral l'un en 1746, le second, qui en est la suite, en 1748 et un troisième en 1750 qui est une Addition.... Dans le mémoire de 1746, il commence, en première partie, par s'occuper de l'intégration des fonctions rationnelles puis, il traite dans la :

D'Alembert [Dal,p.200]

Quand, dans ce texte D'Alembert parle de différentielles reductibles à la rectification de ... il faut entendre des expressions de la forme f(x)dx dont l'intégrale dépend d'arcs d'ellipse et d'hyperbole.

La méthode de d'Alembert est analytique et inductive. Analytique, car on ne trouve pas de géométrie dans ses Mémoires mais essentiellement des différentielles sur lesquelles il fait des changements de variables particuliers; Inductive, car il commence par donner les éléments d'arcs de l'ellipse et de l'hyperbole puis par généralisations successives retrouve peu à peu les cas de Mac Laurin qu'il étend ensuite à des situations plus générales.
Ainsi il trouve, entre autre, que l'intégrale de , où n est un nombre entier impair, et a, b, c des coefficients quelconques, ne dépend que d'arcs de coniques et qu'il en est de même avec l'intégrale de .

D'Alembert s'appliquent à traiter différentes sortes de différentielles, comme l'avait fait Mac Laurin, mais sans chercher à les regrouper sous une même forme génératrice comme le fera plus tard Lagrange. Néanmoins, ces recherches causèrent l'admiration d'Euler, à qui D'Alembert avait envoyé le mémoire.

Mais ce qui m'a plu surtout dans votre pièce c'est la réduction de plusieurs formules intégrales à la rectification de l'ellipse et de l'hyperbole : matière à laquelle j'avois aussi déjà pensé, mais je n'ai jamais pu venir à bout de la formule

et je regarde votre résolution comme un chef d'oeuvre de votre pénétration.

Lettre de Euler à D'Alembert [EII, p.252]

La troisième partie des ces Recherches qui constitue la première partie du Mémoire de 1748, lui permet, dans le même esprit, de trouver d'autre intégrales dépendant de la rectification des coniques, telles celle-ci

qu'il réduit, comme les autres, à des arcs de coniques à l'exceptions de quelques cas particuliers qu'il avoue ne pas pouvoir réduire.

 

Une nouvelle méthode de J. LAGRANGE

En 1784 J. Lagrange fait paraître:

UNE NOUVELLE METHODE DE CALCUL INTEGRAL

POUR LES DIFFERENTIELLES AFFECTEES D'UN RADICAL CARRE
SOUS LEQUEL LA VARIABLE NE PASSE PAS
LE QUATRIEME DEGRE.

___________

(Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Turin, t. II, 1784-1785)
________
On sait que toute formule différentielle qui contient un radical carré, où la variable n'a pas plus de deux dimensions, est intégrable par les logarithmes ou par les arcs circulaires; car il est toujours possible de la réduire à une forme rationnelle, en faisant disparaître le radical par une substitution convenable. Mais cette réduction ne réussit plus en général, lorsque le radical contient des puissances de la variable plus haute que la seconde, et l'integration échappe alors aux méthodes connues. Si la plus haute de ces puissances ne monte pas au-delà du quatrième degré, on peut dans plusieurs cas construire l'intégrale par les arcs des sections coniques. La recherche de ces cas à beaucoup occupé les Géomètres : leur travail est avantageux aux progrès du Calcul intégral, parce qu'il sert à ramener à des classes déterminées un grand nombre de différentielles de formes différentes; (...)

Le but de Lagrange dans ce Mémoire est très différent de celui de D'Alembert.
Il considére l'intégrale générale : , où P est une fraction rationnelle de x et d'un radical de la forme et se propose de la réduire à une forme plus simple afin de pouvoir lui appliquer une méthodes efficace de calcul plus appropriée que des développements en série dont la convergences n'est pas toujours rapide.

Il la ramène par différentes considérations algébriques et un changement de variable, à l'expression :

+ eventuelles intégrales de fonctions rationnelles.

a, b et c sont réels. Le second membre ne pose pas de problème puisqu'il s'intègre au moyen de logarithmes ou de fonctions trigonométriques.
Il travaille à nouveau sur le premier membre pour l'amener à la forme :

avec N fonction rat. de x² et a,b,m, n réels.

qu'il obtient au moyen d'un changement de variable.
Enfin un 3e changement de variable parmi des calculs assez fastidieux achèvera la préparation de notre intégrale en :

où L et M sont des fonctions rationnelles. de y².

Quant à p, q ce sont des quantités réelles tels que 0 < q < p.

L'intégrale initiale a donc été ramenée à une forme canonique, à l'adjonction d'un nombre fini d'intégrales de fonctions rationnelles près, qui ne posent pas de problème puisque intégrables au moyen des fonctions élémentaires connues. Bien sûr, Lagrange ne s'arrète pas là car son objectif est de donner un moyen de calculer facilement la partie irréductible de cette expression, à savoir la seconde intégrale.

 

La première suite arithmético-géométrique


Dans l'intégrale il fait maintenant le changement de variable : , dans lequel

..

En prenant pour nouveaux paramètres p' et q' tels que :

il obtient l'égalité des différentielles suivantes :

Les notations sont ici extrêmement synthétiques, il faut comprendre ici que les deux intégrales associées sont égales, les bornes étant conformes au changement de variables . Il en déduit finalement :

Qu'il faut comprendre encore, comme une égalité d'intégrales où et représentent des fonctions rationnelles de . Lagrange a ainsi remplacé le calcul de l'intégrale du premier membre par les deux intégrales du second. Comme l'intégration de ne pose pas de problème puisque c'est une fonction rationnelle, on a ainsi substitué à l'intégration de , celle de .

Quel est l'avantage de cette réduction remarque Lagrange : en réitérant plusieurs réductions de ce genre on obtient deux suites

p < p' < p'' ... suite de nombres positifs croissants à l'infini
q > q' > q'' ... suite de nombres positifs décroissants jusqu'à 0.

Affirmations qu'il ne détaille pas autrement.

Maintenant si l'on pose : m = p+q, n = p-q, m' = p'+q' et n' = p'-q'
on obtient:

Les termes correspondants seront toujours moyens proportionnels, arithmétiques et géométriques, entre les doubles des termes qui les précèdent.

En réitérant ces réductions les nombres q, q', q'' deviendront aussi petits que l'on voudra et la différentielle ci-dessus se réduira à :

qui est intégrable par des logarithmes ou des fonctions trigonométriques. Lagrange termine ce paragraphes par des considérations pratiques permettant de gérer au mieux cette approximation.

 

La seconde suite Arithmético-Géométrique : agM

Reprenons les transformations précédentes et remarquons que les deux suites

p, p', p'', .... , q, q', q'',...

sont divergentes l'une par rapport à l'autre, mais si on les continue en arrière, on peut écrire avec les notation de Lagrange :

...,''p, 'p, p, ..., ''q, 'q, q

Vu de cette façon, elles sont convergentes, en sorte qu'on parviendra à des limites r et s égales entre elles, ou presque.

La différentielle correspondante deviendra qui est une forme que l'on peut intégrer avec des logarithmes ou des fonctions trigonométriques.

Les suites seront alors définies par :  
 
ce qui donne  
 

Chaque terme correspondant est donc toujours moyenne arithmétique et moyenne géométrique des deux prédents.

On reconnait, la suite arithmético-géométrique notée en anglais agM. On la retrouvera plusieurs fois après car elle est intimement liée aux fonctions elliptiques; Lagrange calcule la différence de deux termes consécutifs en fonction des précédents :

Et l'on voit que, quelle que soit la différence des deux premiers termes p et q, elle doit aller toujours en diminuant dans les termes suivants, jusqu'à devenir nulle (...) puisque la suite p, 'p, ''p, ... est décroissante et la suite q, 'q, ''q, ... est au contraire croissante , mais toujours séparée de l'autre par un intervalle qui diminue à l'infini.

Lagrange remarque, plus haut, sans autre justification que les suites p et q sont convergentes et de même limite. La notion de suite adjacente apparait ici clairement décrite et, conséquence de leur définition, leur convergence reste du domaine de l'évidence.

En ce qui concerne nos intégrales la transformation correspondante est la réciproque de la précédente , ,

c'est à dire : et dans ces conditions les intégrales précédentes se transformeront conformément à l'égalité :

 

Lagrange montre ensuite que son intégrale initiale se transforme, avec ces nouveaux changements de variables, comme avec ceux liés à la première suite, mais ici il aboutit maintenant, en dernier ressort, à une intégrale très proche de .

 

On peut dire qu'avec ce mémoire, Lagrange à expédié avec succés le problème et ne s'y est pas arrété, c'est ce que fera pourtant brillament un autre mathématicien : C. F. Gauss...

Créé le 01/09/07 et et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07