LA RECTIFICATION DES COURBES

  [...] la proportion qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même je crois ne le pouvant être par les hommes.  
Descartes, La Geométrie.
 

 

Rectification d'une courbe

Une courbe étant donnée par son équation y = f(x) dans un repère, rectifier cette courbe c'est déterminer la longueur de l'arc AM en fonction de l'abscisse x du point M. Rectifier vient du latin rectificare qui veut dire « rendre droit» . Cette dernière expression faisant référence à la méthode utilisée qui consiste à trouver géométriquement une segment de droite de longueur égale à l'arc à mesurer.

C'est un ancien problème et, comme celui des aires, il remonte à l'antiquité où très tôt les homme ont eu besoin de rectifier le cercle. Ainsi 2000 ans avant J.C. les babyloniens prenait pour mesure de la circonférence du diamètre.

Mais c'est aux grecs, et en particulier à Archimède, que l'on doit une analyse profonde de la question; en effet il montre, dans son livre La mesure du cercle, qu'il existe une seule et même constante plus tard nommé p, telle que l'on ait : A = p et L = 2pR, A étant l'aire du cercle de rayon R et L sa circonférence.

Jusqu'à l'époque de Descartes on ne reussit à rectifier aucune autre courbe et cette absence de résultat, suggérant une grande difficulté voir une impossibilité à résoudre ce problème, justifie la remarque de Descartes dans sa Géométrie.

 

 

Les tentatives (17ème siècle)

Cependant, certains résultats commencèrent à être démontrés à cette époque. Ainsi, vers 1640, l'italien Torricelli et le français Roberval avaient montré séparément que la longueur de la première rotation de la spirale r = aq est égale à la longueur de la parabole: x² = ay de x = 0 à x = 2pa. Ce qui, soit dit en passant, n'était pas une authentique rectification de la spirale, vu qu'à cette époque on ne savait pas rectifier la parabole. C'était une façon de repousser le problème.

 

Des problèmes exaltants

Le fait de vouloir exprimer la longueur d'un arc courbe comme la longueur d'un segment de droite était un exercice séduisant qui rappelait, dans un même esprit, la mythique quadrature du cercle que personne jusqu'à présent n'avait rigoureusement résolu.

Dés 1657, Huygens avait ramené la rectification de l'arc parabolique à la quadrature de l'hyperbole. Grâce aux principes posés par Wallis dans son Arithmétique des Infinis, un des ses élèves, William Neil, rectifie, en 1657, la parabole semi-cubique , rectification qui avait, semble-t-il, été faite à la même époque aux Pays-Bas par Hendrick Heuraet (Hollande, 1633-1660) et fut d'ailleurs l'occasion d'une controverse entre les deux hommes. Enfin en 1658 Chistopher Wren (1632-1723) rectifia la cycloïde. Toutes ces découvertes furent faites avant l'avénement du calcul différentiel de Leibniz et du calcul des fluxions de Newton et montre bien l'attrait exercés sur les mathématiciens par des problème dont les solutions démentaient l'affirmation de Descartes.

Ces exercices de rectifications (comme ceux de quadrature) avait un parfum de magie montrant que les mathématiques du 17e siècle n'avaient pas encore atteint le niveau de rationnalité et de rationnalisation qu'elles atteindront aux siècles suivants. En voici pour preuve l'entète de la lettre de H. Heuraet où il expose sa méthode de rectification de la parabole semi-cubique. La traduction litérale du titre donne Lettre sur la métamorphose (transmutation?) des lignes courbes en lignes droites et identifie en quelque sorte le problème avec la recherche d'une pierre philosophale mathématique.

 

Flou théorique :

Qu'appelle-t-on rectifier une courbe ? Plus précisément comment exprimer la longueur d'un arc d'équation y = f(x) quand il est manifeste qu'on ne parvient pas à l'exprimer algébriquement, c'est à dire comme quotient de x, de y et de racines. Les problèmes évoqués pour les quadratures se posent également pour les rectifications

 

Peu de courbes sont rectifiables !

Or, même en admettant les fonctions circulaires et leurs inverses, ainsi que les fonctions logarithme et exponentielle comme «bonnes à tout faire» , la plupart des courbes ne se laissent pas rectifier et résistent aux efforts des mathématiciens, donnant ainsi, d'une certaine façon raison à Descartes.

Après que Leibniz et Newton eurent fixé à la fin du 17e siécle les notations et les algorithmes propres au calcul infinitésimal, le problème de la rectification des courbes put s'exprimer facilement.

Une courbe AMP étant définie par son équation: y = f(x). Pour un accroissement infiniment petit dx de la variable x, on obtient un arc infiniment petit, complètement assimilable à un petit segment de droite [MP].

La longueur MP, infiniment petite, est précisément l'élément différentiel de l'arc que l'on notera : dL = MP. Ainsi, MP est l'hypothénuse du triangle rectangle MRP, dans lequel nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore :

appelé différentielle ou élément d'abscisse curviligne.

En termes de dérivées on obtient pour la dérivée de l'arc AM : . ou y' est la dérivée de la fonction f(x).

Disons-le tout net, si calculer l'aire délimitée par une courbe d'équation y = f(x) est en général possible pour des fonctions « simples» en calculant une intégrale de cette fonction. L'expression de la dérivée de l'arc, faisant intervenir la racine carré, en général irréductible, de 1+ y'², va rapidement poser des problèmes quant à la recherche de son intégrale exacte et donc très rapidement limiter le nombre des rectifications algébriques.

 

Créé le 01/09/07 et et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07