LA REVELATION DE RENE DESCARTES

La géométrie algébrique

En 1637 Renée Descartes publie sa Géométrie, c'est un ouvrage de lecture difficile et ingrate mais dont le contenu est riche de conséquences. En effet, il nous affirme dès l'entrée, que tous les problèmes de géométrie peuvent se résoudre algébriquement, si on prend soin de prendre un repère du plan et de traduire les données géométriques points, droites, lignes courbes de chaque problème en termes d'équations entre les deux inconnues fondamentales qu'il dévoile : l'abscisse x et l'ordonnée y. Ainsi traduit, les problèmes géométriques gagnent en clarté et seront ainsi plus à même d'être résolus.

Avec Descartes toute équation polynomiale est représentable par une courbe, par contre et réciproquement il n'accepte comme « courbe » que celle qui peuvent être réprésentées par une équation polynomiale.

 

g(x,y) =0, g polynôme en x et y.

Ces expressions algébriques compactes et concises, bien que très éloignées des courbes géométriques, contiennent cependant en puissance toutes les propriétés des courbes quelles décrivent. Mais comment obtenir les propriétés géométriques de la courbe associée à une équation ? C'est justement l'algèbre qui, par ses méthodes claires et mécaniques, sera plus à même d'extraire de l'équation les propriétés de la courbe que l'ancienne géométrie qui nécessitait beaucoup de flair, d'inventivité et d'expérience. Ajouter à cela que l'algèbre permet de généraliser facilement les problèmes qu'il est assez difficile de concevoir en géométrie où, quoi qu'on fasse, une figure reste toujours irrémédiablement un «cas particulier».

Cette mise en relation courbe-équation permet à Descartes de hiérarchiser les différentes courbes par le degré de leur équation . Lorsque cette équation sera du premier degré elle ne décrira que des droites, lorsqu'elle sera du second elle décrira des coniques (cercles, paraboles, ellipses et hyperboles), &c.

Malheureusement certaines courbes n'acceptent pas d'être représentée par une simple équation algébrique: ainsi sont les courbes qui nécessitent pour être définies plusieurs mouvement distincts; telle la quadratrice d'Hippias d'Elis, géométre grec du 3e siécle avant J.C., qui avait utilisé cette courbe pour résoudre le problème de la quadrature du cercle.

Hippias la définissait ainsi: les segments OA et OB sont donnés perpendiculaires. Un rayon OE tourne autour de O à vitesse constante en partant de la position OA. Une droite PF parallèle à la base OB se déplace à vitesse constante de A vers O. Quand ces deux mouvements commencent en même temps OE et PF se coupent en M qui décrit ainsi la quadratrice d'Hippias.

Malheureusement son équation n'est pas algébrique, car elle nécessite des fonctions trigonométriques.

La censure géométrique

Descartes va refuser de telles courbes, toutes celles, en fait, dont la définition nécessite des mouvements séparés qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement et qu'il nomme mécaniques. Il va de même ignorer un certain nombre de quantités tels les logarithmes, les lignes trigonométriques (sinus, arcsinus, &c).

Les équations de ces courbes n'étant pas algébriques, entendez ne pouvant s'écrire sous la forme d'un polynôme en x et y puisqu'elles faisaient intervenir les lignes trigonométriques ou le logarithme, ils ne pouvait les classer et ne savait les traiter comme les premières : il était donc impossible de raisonner clairement et distinctement sur elle. Ils va donc les rejeter de sa géométrie

Les lignes trigonométriques, logarithme et leurs réciproques appartiennent aux mathématiques appliquées et calculatoires: elles sont éloignées de la géométrie idéale des anciens grecs c'est à dire une géométrie issue de la raison, pure et rigoureusement exacte.

Cet état d'esprit, qui ne sera pas d'ailleurs propre à Descartes, sera répandu au 17e siècle, il faudra attendre G.W. Leibniz pour accepter définitivement ces quantités et les courbes mécaniques dans les mathématiques, êtres nouveaux qu'il qualifiera de quantités et courbes transcendantes.

 

La méthode de Descartes (la géométrie analytique)

Il propose donc pour étudier une courbe ou résoudre un problème géométrique de le représenter par une ou plusieurs équations algébriques. Il reste ensuite à traiter algébriquement ces dernières: Descartes donne d'ailleurs dans son livre quelques exemples de tels traitements.

La méthode de Descartes est porteuse de grands espoirs et cette nouvelle façon de considérer les problèmes géométriques laissent augurer des découvertes substantielles pour l'avenir. En effet, la plupart des mathématiciens européens empruntant la voie indiquée par Descartes vont se jeter à corps perdu dans l'exploration de la géométrie analytique et de nombreuses découvertes, un peu disparates cependant, vont jaillir spontanément. En effet, l'algèbre apparait à l'époque de Descartes comme une discipline à part entière dont le symbolisme très efficace est proche de celui que l'on utilise aujourd'hui. Les traitements de base sont connus et l'on sait résoudre les équation algébriques jusqu'au degré 4 inclus.

Malheureusement, les méthodes connues n'étaient pas à la hauteurs des espoirs : En effet, le traitement général d'une expression polynomiale : g(x,y) = 0 exigeait des connaissances algébriques que l'on ne possédait pas encore au 17e siècle: la théorie générale des équations algébriques était dans l'enfance et beaucoup de résultats importants ne restaient que soupçonnés, en particulier le résultat fondamental énonçant que toutes équation de degré n admet au moins une racine... Il faut ajouter à ceci une méfiance quasi générale vis à vis des nombres négatifs et une méconnaissance presque totale des nombres complexes qui apparaissaient subrepticement au détour du traitement d'une équation. Donc, bien que Descartes donne dans sa Géométrie quelques résultats assez importants sur les équations, l'ensemble reste insuffisant et aucune méthode générale de traitement des équations n'apparaitra avant la fin du 17e siécle. Mais ce n'est pas tout...

L'équation donnée plus haut par Descartes, et sensée résumer d'une façon plus ou moins claire d'ailleurs, le problême de géométrie qui nous occupe, est associée à une Courbe AM. Cette Courbe, n'est pas, au 17e siècle quelque chose d'inconnue.

En effet, depuis l'antiquité on connaîssait quelques courbes : l'inévitable cercle, les coniques (parabole, ellipse et l'hyperbole) et d'autres qui étaient apparues au détours de quelques questions insolubles, tels la quadrature du cercle (voir la quadratrice d'Hippias d'Elis). Mis à part le cercle (et quelque peu les coniques) les géomètre de l'antiquité les avaient négligées, essentiellement car ils ne savaient comment les définir rigoureusement, n'ayant à leur disposition que les ressources de la géométrie euclidienne. De plus elles leurs posaient des problèmes en général insolubles dans les questions suivantes:

La détermination de la tangente T en un point M de la courbe,

La déterminations des minima et maxima des courbes,

L'aire sous la courbe (Aire du domaine AHM) ,

La détermination du centre de gravité de la partie AHM considérée comme homogène ,

Quant à la longueur de l'arc de courbe AM on osait à peine y penser.

Jusqu'à Descartes peu de progrès avait été fait et bien qu'au cours du 17e siècles un certain nombres de résultats émergèrent, ce qui fut réalisé avait demandé des technique originales, particulière aux problèmes posés et donc difficilement généralisables.

Tous ces problêmes échappaient complétement à la géométrie euclidienne sauf sur quelques cas très particuliers, et voilà que Descartes sous prétexte d'algébriser les problêmes et de les simplifier propose des courbes-equations sur lesquelles n'ont aucune prise les méthodes connues. Descartes conscient du problème propose bien dans sa géométrie une méthode des tangentes, entendez une méthode pour déterminer la tangente en un point donnée d'une courbe, mais sa méthode, théoriquement efficace, n'est pratiquement utilisable... que sur l'exemple qu'il fournit.

 

Et j'espère que nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j'ai ici expliquées, mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.
La Géométrie, R. Descartes

 

Le mouvement était lancé et la plupart des mathématiciens du 17e siècle vont s'atteler à ces problèmes, développer de nouvelles méthodes, en particulier, des méthodes faisant intervenir des quantités infiniment petites ou des développements infinis. Le résultat en sera l'émergence à la fin du siècle de cet outil remarquable que l'on appellera Calcul Infinitésimal et qui permettra d'aborder correctement les problèmes ci-dessus. Deux noms principaux seront associés à cette découverte : sur le continent, G. W. Leibniz avec le calcul différentiel et en Grande Bretagne, I. Newton. avec le calcul des fluxions.

Le folium de Descartes

Equation cartésienne :

 

Créé le 01/09/07 et et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07