LES VOEUX D'EULER

Ses premiers travaux

L. Euler (1707-1783) n'a pas attendu les travaux de G.C. Fagnano pour s'interesser aux intégrales elliptiques. A propos de ses recherches sur les courbes elastiques Euler avait déjà rencontré ces intégrales et il écrivit plusieurs articles à leur sujet, un en 1728(*) et un second en 1743 , intitulé les courbes élastiques qui apparait vraiment remarquable. Il y donne la forme générale de l'équation différentielle prise par une lame elastique : . On y reconnait facilement la forme générale des intégrales elliptiques.

Dans ce travail il étudie les formes variées que peut prendre une lame élastique et remarque l'existence de périodes réelles dans l'intégrale associée, remarque qui semble être la première du genre.

L'étude de cette intégrale, dans le cas où a= c, le conduit à la développer en série infinie et fait allusion à une relation entre les intégrales :

à savoir, . Il communiqua ce résultat à Jean-Bernoulli en 1738 en remarquant qu'il avait découvert une propriété singulière de l'élastique. Cette propriété peut-être considéré comme un cas spécial de l'identité de Legendre reliant deux genres d'intégrales elliptiques complétes et est tout à fait remarquable.

 

Deux importants mémoires

Et voici qu'en 1751 Euler prend connaissance des découvertes de Fagnano. Comme il s'était plongé à plusieurs reprises dans l'étude de l'élastique il est tout à fait impressionné par les découvertes du Comte Fagnano, d'autant qu'elles apportent des idées nouvelles, en particulier celles qui concernent la relation algébrique reliant deux arcs d'ellipses et les sections d'arc de lemniscate. Euler va reprendre les travaux de Fagnano et les compléter. Ainsi, il va publier à leur sujet deux articles :

Observations sur la comparaison des arcs de courbes non rectifiables (1756/57) [EI,vol. prius, p. 80]

Intégration de l'équation différentielle , (1756/57) [EI,vol. prius, p. 58]

Premier mémoire

Dans le premier de ces articles il commence par remarquer que les recherches mathématiques se réduisent à deux classes : la première, que l'on pourrait appeler mathématiques dont les applications sont utiles à la vie de tous les jours; la deuxième concernerait les mathématiques qui ne sont d'aucun profit particulier sinon d'exercer l' intelligence et de faire reculer les limites des mathématiques. Euler estime que cette dernière voie ne doit pas être négligée, mais au contraire poursuivie. Il pense d'ailleurs que les découvertes de C.G.Fagnano appartiennent à ce dernier domaine et croit qu'il faut tenter de les étendre d'autant plus qu'elle semble procéder plus du hasard que d'une recherche raisonnée.

Il reprend les travaux de Fagnano sur l'ellipse et donne quelques variantes de ceux-ci. Nous en avons données deux dans la page traitant de Fagnano. Il applique ensuite ceci à l'hyperbole et prolonge ensuite les travaux de Fagnano sur la lemniscate.

Voici le sommaire et les premières page de ce mémoire où il démontre les deux propriétés de l'ellipse énoncées dans le chapitre concernant Fagnano. Remarquer la concision et la clarté des démonstrations d'Euler.

Second mémoire

Dans le second article Euler étudie l'intégration de l'équation différentielle .

Fagnano avait déjà donné une intégrale particulière et algébrique de l'équation . C'est une expression autant algébrique que remarquablement simple : . Euler commence donc par remarquer que cette expression algébrique n'est peut-être qu'un cas particulier heureux d'une solution générale complétement transcendante, puisque chacun de ses membres est inintégrable par les fonctions algébriques et élémentaires et que le fait de produire une solution particulière algébrique n'infère en rien l'existence d'une solution générale algébrique. Euler donne d'ailleurs de cette dernière situation un exemple avec la fonction exponentielle. Au passage, Euler en profite pour donner un critère permettant de décider si oui ou non une solution trouvée est générale : ll suffit qu'elle contienne une constante arbitraire qui n'apparait pas dans l'équation initiale. Il renchérit en remarquant que les raisons ne manquent donc pas pour douter de l'existence d'une solution générale algébrique à l'équation : .

Cependant, un phénomène connu préoccupe Euler. En effet, l'équation différentielle admet une solution générale connue comme .

En posant

l'équation précédente se ramène à celle-ci : . Dans laquelle une utilisation adroite des formules de trigonométrie développera cette égalité en deux polynômes : l'un, à droite, en et l'autre en . Expression qui, bien que compliquée en général, aura le mérite d'être algébrique.

Ne pourrait-on pas imaginer la même chose pour l'équation ? Oui bien sûr, mais malheureusement on ne dispose pas pour cette expression de fonctions trigonométriques analogues à celle que nous avons utilisées sur l'équation précédente.

C'est sans compter sur le génie d'Euler qui par tatonnement, il le dit lui-même, va exhiber la solution général de l'équation , à savoir :

qu'il transforme en l'expression aussi symétrique qu' élégante :

mais Euler ne s'arrète pas là, avec un mélange astucieux d'algèbre et de géométrie il analyse l'équation et fournit l'algorithme qui permet d'en trouver la solution générale.

Il généralise ensuite, par des procédés algébriques, les résultats et les méthodes trouvées pour ces équations particulières et aboutit à la solution de l'équation différentielle :

Dont il donne la solution générale :

Encore une fois on aperçoit ici la formule d'addition des fonctions qui seront appelées plus tard elliptiques.

Bien que les recherches d'Euler sur les intégrales elliptiques et les équations différentielles attenantes aient été importantes : elles occupent deux gros volumes de ses oeuvres; il ne semble pas qu'il ait été beaucoup plus loin sur cette voie. En particulier, il ne cherchera pas à étudier les fonctions réciproques induites par les intégrales elliptiques et qui sont représentées par les variables x, y et c des expressions ci-dessus. Néanmoins l'analogie de ces relations avec les formules de la trigonométrie classique poussèrent cet illustre mathématicien à émettre un voeu relativement à ces intégrales et équations différentielles:

 

 
Il semble surtout que l'on devrait utiliser ici une notation appropriée par laquelle les arcs de natures elliptiques pourraient être représentés aussi convenablement dans les calculs que jusqu'à maintenant l'ont été les arcs logarithmiques et circulaires qui ont été introduits dans les calculs afin d'accroître considérablement l'analyse.
 
 

Réduction des formules intégrales pour la rectification de l'ellipse et de l'hyperbole,
[EI, vol. prius p.258]

 

(*) Solution du problème consistant à trouver la courbe que forme une lame elastique soumise en chaque point par des forces quelconques - Solutio problematis de invenienda curva quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis a potentis quibuscunque sollicitata. Mémoire N°8 de l'index d'Eneström. Mémoires de l'Académie des Sciences de St Pétersbourg 3 (1728), 1732, p. 70-84.

Créé le 01/09/07 et et lentement développé par Jean-Claude Pénin. Dernière mise à jour le 01/09/07