LES CURIEUSES DECOUVERTES

de Giulio Carlo, Comte Fagnano

Différences d'arcs d'ellipses et d'hyperboles

C.G. Jacobi (1804-1851) appelait le 23 décembre 1751 le jour de naissance des fonctions elliptiques. C'était la date où Euler examina les papiers que le Comte Giulio Fagnano (1682-1766) avait envoyé à la célèbre Académie de Berlin afin d'en devenir un de ses membres [Ay, p. 131].

L'article de Fagnano parlait d'intégrales qui n'étaient pas exprimables par des fonctions élementaires mais dont certaines combinaisons pouvaient être interprétées géométriquement. Il semble qu'il fut le premier à s'occuper de tels recherches.     Ainsi, il montre que dans une ellipse ou une hyperbole on peut déterminer géométriquement des arcs dont la différence est rectifiable. Il trouve ainsi sur un quart d'ellipse ou une branche d'hyperbole équilatère deux arcs disjoints qui ont cette propriété.   La propriété n'est évidente ni à l'intuition ni à l'oeil nu, car contrairement au cercle dont la courbure est constante il n'en est pas de même pour l'ellipse.

Voici cette propriété telle que la transcrivit Euler dans son Mémoire de 1756/57. Si BMNA est un quadrant d'ellipse avec CB = c et CA = 1. Si on pose , x et u les abscisses respectives de P et Q, on a alors: Ainsi, un point P étant pris où l'on veut sur l'axe des x, on détermine sur l'ellipse le point M correspondant. Puis, on abaisse de M la normale à l'ellipse qui coupe perpendiculairement la demi-droite (CR) issue de C. On marque sur cette dernière le point V tel que CV = CA = 1 et enfin on trace la droite (VQ) perpendiculaire à (CA) ; cette droite coupe l'ellipse au point cherché et la différence des deux arcs est géométrique vu que la quantité nxu peut être déterminée à la règle et au compas.

On peut même trouver facilement u et x pour que les points P et Q coincident: il suffit pour cela de résoudre une équation bicarrée qui admet parmi ses racines la valeur cherchée, abscisse du point O, qui peut être ainsi déterminé géométriquement. Ce point O partage l'arc BA de l'ellipse en deux parties égales.

Une variante équivalente mais plus jolie de cette propriété est la suivante; elle est développée aussi par Euler dans le même M émoire. La voici illustrée à droite. Un point M étant pris sur le quadrant de l'ellipse AB. Il existe un point N sur ce même quadrant tel que : Où l'on voit facilement que la différence des deux arcs est constructible, puisque le point M étant donnée, la tangente à l'ellipse en ce point est constructible et par conséquent le point O aussi.

Fagnano trouva des propriétés semblables sur l'hyperboles et la lemniscate.

Ce genre de recherches s'inscrivait dans l'optique de la Géométrie de Descartes : ne pouvant exprimer simplement certaines intégrales, vraisemblablement parce que l'analyse n'avait pas suffisamment progressé il pouvait être intéressant de rechercher des relations algébriques entre ces intégrales. Ainsi, Jacques Bernoulli en 1679 avait montré comment partager géométriquement l'arc d'une spirale parabolique en réduisant l'intégrale à une quadrature. Un an plus tard, son frère, Jean Bernoulli avait proposé [Bje, p. 242] le moyen de déterminer sur une parabole des arcs qui fussent dans un rapport donné ; sa méthode le conduisit à annoncer qu'un arc parabolique étant donné, on pouvait en trouver un autre dont la somme ou la différence avec le premier fut une quantité géométrique, donc représentable par un segment de droite .

Relation entre arcs d'ellipse, d'hyperbole et de lemniscate.

Fagnano connaissait les travaux des Bernoulli. Ainsi, il prouva plusieurs relations intéressantes dont la suivante :

Si z et t sont reliées par l'expression : , alors on a :

Cette égalité est remarquable car elle met en relation "géométrique" un arc d'Ellipse, un arc d'Hyperbole et un arc de Lemniscate. En effet, l'intégrale de gauche correspond à la longueur d'un arc de Lemniscate, la première intégrale du membre de droite est la longueur d'un arc d'Ellipse, quant à la seconde c'est la longueur d'un arc d'Hyperbole équilatère. Ces trois intégrales sont, bien sûr, transcendantes, c'est à dire inexprimables à partir des fonctions élémentaires et pourraient ne pas présenter plus d'intérèts qu'une somme quelconque d'intégrales incalculables, si n'apparaissaient nos deux irréductibles arcs d'Ellipse et d'Hyperbole mais, en plus, une référence à une courbe étonnante que les mathématiciens du 18e siècle connaissent comme étant la Lemniscate et qui sera à l'origine de la célébrité de Fagnano auprès d'Euler et des mathématiciens qui s'intéresseront aux fonctions elliptiques.

Je ne sais pas si de nos jours les étudiants de mathématiques étudient la lemniscate comme nous l'avons fait il y a quelques années, quoiqu'il en soit, cette courbe élégante à la forme d'un 8 couché et a pour équation en coordonnées polaires :

alors que son équation en coordonnées cartésienne est:

C'est un cas particulier d'ovale de Cassini, (Jean-Dominique Cassini, 1625-1712, astronome et fondateur de l'observatoire de Paris) lieux des points d'intersection d'une tangente à une conique et de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur cette tangente. Son nom, qui vient d'un mot grec signifiant ruban, lui fut donné par Jacque Bernoulli.

La lemniscate de Bernoulli

Cette courbe présentent plusieurs propriétés géométriques assez remarquables. C'est, comme on l'a vu, un ovale de Cassini dont la conique génératrice est une hyperbole équilatère ; C'est aussi le lieu des points où le produit des distances à deux points fixes est constant. Dans un contexte 18e siècle on pourait dire qu'avec une telle définition la courbe produite ne peut qu'être remarquable !

Fagnano va étudier la lemniscate et plus particulièrement les arcs de cette courbe élégante. Ce sont ses travaux qui vont exercer la curiosité et l'attrait d'Euler.

La méthode de Fagnano et la lemniscate

Les travaux de Fagnano semblent avoir impressionné les mathématiciens de l'époque. Euler, déjà cité, mais aussi l'historien Montucla [Mo, III, p. 338] parle des propriétés singulières dignes d'être lues et trouvées par le comte Fagnano. Notre historien ne s'arrète pas là et déclare plus loin:

On pourrait dire aujourd'hui, sur la foi de ce témoignage, que la pédagogie de Fagnano quant à l'exposition de ses travaux était en avance sur son temps.

Pour illustrer ceci voici, rapporté par Ayoub [ Ya, p. 136] , sa méthode pour partager l'arc du premier quadrant de lemniscate en deux parties égales.

Fagnano propose donc l'énoncé suivant:

Le théorème montré, Fagnano en tire les corollaires suivants :

Soit l'équation de la lemniscate dont le premier quadrant peut-être paramétré par .

La différentielle de l'arc de lemniscate est .

Dans ces conditions on a pour les longueurs des arcs : et . Ces intégrales sont, bien sûr, inexprimables au moyens des fonctions élémentaires.

Le théorème nous permet d'affirmer que si (u+1)(v+1) = 2 alors .

Pour partager l'arc de la lemniscate en deux partie égales il suffit donc que P = Q ou que u = v. D'où l'on déduit et ainsi .

On en tire les valeurs de x et y pour le point de bissection :

et comme il n'entre dans ces expressions que des racines carrés, ce point est constructible avec la règle et le compas.

Si on remplace dans les équations paramétriques de la lemniscate la variable t par la différentielle de l'arc devient et le théorème précédent s'écrit :

Ce théorème présente une conséquence importante car il fournit une relation algébrique simple entre des intégrales transcendantes que nous avons déjà aperçues.

pourvu que

Ce sont de telles égalités qui sont à l'origine du développement des fonctions elliptiques.

Fagnano produira d'autres travaux relativement à la lemniscate; en particulier, et avec une méthode semblable à la précédente il montre qu'on peut partager (trisection et quintisection) en trois et cinq arcs égaux le quadrant de la lemniscate. Les points de trisection et quintisection restant constructibles géométriquement.

Les relations trouvées , dans ce dernier exemple, sont simples. C'est ce qui a parut remarquable aux mathématiciens contemporains et en particulier à Euler.